13.Означення планів злп (допустимий, опорний, оптимальний).

Вектор Х=(х₁,х₂,...,х_n), координати якого задовольняють систему обмежень та умови невід’ємності змінних, наз. допустимим планом ЗЛП. Допустимий план Х=(х₁,х₂,..., х_n) назив. опорним планом ЗЛП, якщо він задов-яє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи обмежень у вигляді строгих рівностей, а також обмеж-я щодо невід’ємності змінних. Допустимий план Х* = (х₁*, х₂*,..., х_n*), за якого цільова функція досягає мін. чи макс. значення, наз. оптимальним планом ЗЛП.

14.Побудова опорного плану злп, перехід до іншого опорного плану.

Опорний план ЗЛП будується за законами методу, яким розв'язується дана задача (тобто, якщо це симплекс метод, то будуємо симплекс таблицю з базисними векторами; якщо це транспортна задача - то опорний план можна будувати за методом північно-західного кута чи методом найменшої вартості або подвійної переваги). Далі опорний план перевір-ся на оптимал-ь і якщо він задовольняє умови оптимальності, то зупиняємося. А якщо не задовольняє умови, то від нього переходимо до нового опорного плану, виконавши певний алгоритм дій, частіше всього зі змінною, яка найбільше не задовольняє умови оптимальності. Далі знову починаємо перевірку на оптимальність. І так до тих пір, поки не знайдемо opt. розв'язок.

15.Теорема про оптимальність розв’язку злп симплекс-методом.

Т: -якщо для деякого опорного плану Х₀ = (х₁, х₂,..., х_n) виконуються нерівності z_j - c_j ≥ 0, (j=1,2,…,n) для задачі на max, то план Х₀ є оптимальним. -якщо для деякого опорного плану Х₀ = (х₁, х₂,..., х_n) викон-я нерівності z_j - c_j ≤ 0, (j=1,2,…,n) для задачі на min, то план Х₀ є оптимальним. Знач-я оцінок z_j - c_j визнач-ь безпосередньо із симплексної таблиці як скалярний добуток векторів-стовпчиків «С_баз» та «x_j» мінус відповідний коефіцієнт с_j. Розраховані оцінки записують в окремий рядок симплексної таблиці, який називають оцінковим. У процесі перевірки умови оптимальності можливі такі випадки: а)усі _j задовольняють умову оптимальності - тоді визначений опорний план є оптимальним; б)не всі _j задовол-ь умову оптимальності - тоді потрібно виконати перехід до наступного, нового опорного плану задачі. Отже, для того, щоб план ЗЛП був оптимальним, необхідно і достатньо, щоб його оцінки j були невід’ємними для задачі на максимум та недодатними для задачі на мінімум.

16.Знаходженння розв’язку злп. Алгоритм симплексного методу.

Для розв'язув-я двовимірних ЗЛП, використ-ь графічний та симплексний методи. Графічний метод грунт-я на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях ЗЛП. Розв'язати ЗЛП графічно означає знайти таку вершину многокутника розв'язків, у результаті підставл-я координат якої в цільову функцію, вона набуває найб. (найм.) знач-я. Алгоритм графічного методу: 1.будуємо всі півплощини, які склад-ь допустиму область задачі. 2.знаходимо перетин цих всіх півплощин - будуємо допустиму область. 3.будуємо градієнт N, що задає напрям зрост-я значень цільової функції. 4.через допустиму область проводимо довільну пряму, перепендикулярну градієнту N і рухаємо в напрямі градієнта (для задачі на маx) до тих пір, поки вона останній раз не перетне допустиму область. Чи навпаки (для задачі на мін.) рухаємося у напрямку антиградієнта до тих пір, поки пряма останній раз не перетне допустиму область. 5.візуально визнач-о opt. розв’язок. 6. для знаходж-я точного розв’язку складаємо відповідну систему і розв’язуємо її. Симплекс-метод - поетапна обчисл-на процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліпш-я значень цільової функції переходом від одного опорного плану ЗЛП до іншого. Алгоритм симплекс методу: 1.побудова початкового опорного плану. 2.побудова симплексної таблиці. 3.перевірка опорного плану на оптимальність за допом-ю оцінок _j. Якщо всі оцінки задовол-ь умову опитимал-і, то план є opt. Якщо не задовольняють - переходимо до кроку 4. 4.побудова нового опорного плану задачі - викон-я визнач-я розв'язув-го елемента та розрахунок нової симплексної таблиці. Перехід на крок 3. 5.повтор-я дії до тих пір, поки не знайдеться opt. план.