27.Метод Гоморі.

Алгоритм, запропонований Гоморі для розв’язування повністю цілочислової ЗЛП, ґрунтується на використанні симплексного методу і передбачає застосування досить простого способу побудови правильного відтинання. Нехай маємо задачу цілочислового програм-ня:

 (1)

за умов:

,   (2)

,   (3)

- цілі числа  . (4)

Для розв’язування цілочислових ЗЛП (1)-(4) методом Гоморі застосовують такий алгоритм: 1.Симплексним методом розв’язується задача без вимог цілочисловості змінних - (1)-(3). Якщо серед елементів умовно-оптим-го плану немає дробових чисел, то цей план є розв’язком задачі цілочислового програм-ня (1)-(4). Якщо задача (1)-(3) не має розв’язку (цільова ф-ія необмежена, або система обмежень несумісна), то задача (1)-(4) також не має розв’язку. 2. Коли в умовно-оптим-му плані є дробові значення, то вибирається змінна, яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної (елементів відповідного рядка останньої симплекс-таблиці, в якому вона міститься) будується додаткове обмеження Гоморі: . 3. Додаткове обмеження після зведення його до канонічного вигляду і введення базисного елемента приєднується до останньої симплекс-таблиці, яка містить умовно-оптим-ий план. Отриману розширену задачу розв’язують і перевіряють її розв’язок на цілочисловість. Якщо він не цілочисловий, то процедуру повторюють, повертаючись до п.2. Так діють доти, доки не буде знайдено цілочислового розв’язку або доведено, що задача не має допустимих розв’язків на множині цілих чисел. За певних умов алгоритм Гоморі є скінченним, але процес розв’язування задач великої розмірності методом Гоморі повільно збіжний. Слід також мати на увазі, що і к-сть ітерацій суттєво залежить від сформованого правильного відтинання. Загалом, алгоритм Гоморі в обчислювальному аспекті є мало вивченим. Якщо в лінійному програм-ні спостерігається відносно жорстка залежність між к-стю обмежень задачі та к-стю ітерацій, що необхідна для її розв’язування, то для цілочислових задач такої залежності не існує. К-сть змінних також мало впливає на трудомісткість обчислень. Очевидно, процес розв’язання цілочислової задачі визначається не лише її розмірністю, а також особливостями багатогранника допустимих розв’язків, що являє собою набір ізольованих точок.

28.Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.

Нехай для деякої виробничої системи необхідно визначити план випуску продукції за умови найкращого способу викор-ня її ресурсів. Відомі загальні запаси кожного ресурсу, норми витрат кожного ресурсу на од. продукції та ціни реалізації од. виготовленої продукції. Критерії оптимальності можуть бути різними, наприклад, максимізація виручки від реалізації продукції. Така умова подається лінійною залежністю загальної виручки від обсягів проданого товару та цін на од. продукції. Однак, загальновідомим є факт, що за умов ринкової конкуренції питання реалізації продукції є досить складним. Обсяг збуту продукції визначається передусім її ціною, отже, як цільову ф-ію доцільно брати максимізацію не всієї виготовленої, а лише реалізованої продукції. Необхідно визначати також і оптим-ий рівень ціни на од. продукції, за якої обсяг збуту був би макс-им. Для цього її потрібно ввести в задачу як невідому величину, а обмеження задачі мають враховувати зв’язки між ціною, рекламою та обсягами збуту продукції. Цільова функція в такому разі буде виражена добутком 2 невідомих величин: оптим-ї ціни од. продукції на оптим-ий обсяг відповідного виду продукції, тобто буде нелінійною. Отже, маємо ЗНП. Будь-яка задача стає нелінійною, якщо в математичній моделі необхідно враховувати умови невизначеності та ризик. Як показник ризику часто викор-ють дисперсію, тому для врахування обмеженості ризику потрібно вводити нелінійну ф-ію в систему обмежень, а мінімізація ризику певного процесу досягається дослідженням математичної моделі з нелінійною цільовою ф-ією.Математична модель формулюється так: знайти такі значення змінних xj, (j=1,n), щоб цільова ф-ія набувала екстремального (макс чи мін) значення:

 (1)

за умов:

 ( ); (2)

  (3)

Якщо всі ф-ії   та  ,   є лінійними, то це ЗЛП, інакше (якщо хоча б одна з ф-ій є нелінійною) маємо ЗНП. Геометрично цільова ф-ія (1) визначає деяку поверхню, а обмеження (2)-(3) - допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптим-го розв’язку ЗНП зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня. Якщо цільова ф-ія неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний макс (мін) задачі існує. Найпростішими для розв’язування є ЗНП, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову ф-ію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.