31.Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.

Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rn. Ф-ія f(X), що задана на опуклій множині  , назив-я опуклою, якщо для будь-яких 2 точок х1 та х2 з множини X і будь-яких значень   виконується співвідношення:

. (1)

Якщо нерівність строга і виконується для  , то ф-ія f(X) назив-я строго опуклою. Опукле програм-ня розглядає методи розв’язування ЗНП, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті ф-ії. Загальний вигляд задачі опуклого програм-ня такий:

, , ; (2)

,

де  ,   - угнуті функції.

Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.

Позначимо:  , тоді  , і маємо:

, (4)

  ; (5)

, (6)

де  ,   -опуклі функції.

Множина допустимих планів задачі, що визначається системою (2), є опуклою. Точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування (1)-(3) є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом). Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму). У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.

30.Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.

Якщо ф-ія f неперервна на проміжку [a,b], диференційована в (a,b), то знайд-ся принаймні 1 точка c є [a,b] така, що має місце формула: f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). Ця формула і є формулою Лагранжа. Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні початкової задачі простішою. Для цього цільову ф-ію замінюють іншою, з більшою к-стю змінних, тобто такою, яка включає в себе умови, що подані як обмеж-я. Після такого перетвор-я далі розв’язув-я задачі полягає в знаходж-і екстра-у нової ф-ії, на змінні якої не накладено ніяких обмежень. Тобто від початкової задачі пошуку умовного екстремуму переходимо до задачі відшукання безумовного екстремального значення ін. ф-ії. Завдяки такому перетворенню можливе застосування методів класичного знаходження екстремуму ф-ії кількох змінних. Для розв’язування задачі необхідно знайти вирази частинних похідних нової цільової ф-ії за кожною змінною і прирівняти їх до нуля. В результаті отримаємо систему рівнянь. Її розв’язок визначає стаціонарні точки, серед яких є і шукані екстремальні значення ф-ії. Розглянемо метод множників Лагранжа для розв’язування ЗНП, що має вигляд:

 (1)

за умов:

, (2)

де функції   і   мають бути диференц-ми. Задача (1), (2) полягає в знаходженні екстремуму ф-ії f(x) за умов виконання обмежень   . Переходимо до задачі пошуку безумовного екстремуму. Замінюємо цільову ф-ію (1) на складнішу. Ця ф-ія назив-ся ф-єю Лагранжа і має такий вигляд:

 (3)

де   - деякі невідомі величини, що називаються множниками Лагранжа. Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

 (4)

2-а група рівнянь системи (4) забезпечує виконання умов (2) початкової ЗНП. Система (4), як правило, нелінійна. Розв’язками її є   і   - стаціонарні точки. Оскільки, ці розв’язки отримані з необхідної умови екстремуму, то вони визначають макс, мін задачі (1), (2) або можуть бути точками перегину (сідловими). Для діагностування стаціонарних точок і визначення типу екстремуму необхідно перевірити виконання достатніх умов екстремуму, тобто дослідити в околі стаціонарних точок диференціали другого порядку. Узагальнення достатньої умови існування локального екстремуму для функції n змінних приводить до такого правила: за функцією Лагранжа виду (3) будується матриця Гессе, що має блочну структуру розмірністю (m+n)*(m+n):

де О - матриця розмірністю (m*m), що склад-ся з нульових елементів, Р - матриця розмірністю (m*n), елементи якої визначаються так:

,

P’- транспонована матриця до Р розмірністю, Q - матриця розмірністю (n*n) виду:

, де  .

1. Т. Х* є точкою макс, якщо, починаючи з головного мінору порядку (m + 1), наступні (n – m) головних мінорів матриці Н утворюють знакозмінний числовий ряд, знак першого члена якого визначається множником (-1)^(m+1). 2. Т. Х* є точкою мін, якщо, починаючи з головного мінору порядку (m + 1), знак наступних (n – m) головних мінорів матриці Н визначається множником (-1)^m. У теорії дослідження ф-ій задача на відшукання екстремальних значень не містить ніяких додаткових умов щодо змінних і такі задачі належать до задач відшукання безумовного екстремуму ф-ії. Локальний та глобальний екстремуми тоді визначаються з необхідних та достатніх умов існування екстремуму функції. Для того, щоб т.   була точкою локального екстремуму, необхідно, щоб ф-ія f(x1,x2) була неперервною і диференц-ою в околі цієї точки і 1-і частинні похідні за змінними x1 та x2 у цій точці =0. Т.   назив-я критичною. Якщо

,

то в точці ф-ія має екстремум, причому, якщо

,

тоді це точка локального максимуму ф-ії, а якщо >0 - тоді точка лок-го мінімуму. У разі, якщо

,

то в точці екстремуму не має. Якщо це значення=0, то питання про існування екстремуму залишається відкритим.

Аналіз коефіцієнтів цільової ф-ції ЗЛП.-24

Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.-23

Аналіз розв’язків лінійних екон-матем моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.-22

Властивості розв’язків ЗЛП. Геометрична інтерпретація ЗЛП.-12

Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програм-ня.-26

Градієнтні методи розв’язання ЗНП та їх класифікація.-35

Графічний метод розв’язування ЗНП.-29

Двоїста задача. Правила побудови ДЗ. Симетричні й несиметричні ДЗ.-18

Екон зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.-19

Етапи математ моделювання.-4

Загальна постановка ЗЛП. Приклади екон ЗЛП.-10

Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні ЗЛП.-21

Знаходження розв’язку ЗЛП. Алгоритм симплексного методу.-16

Квадратична ф-ція та її властивості.-33

Матем постановка задачі динамічного програм-ня, її екон зміст. Принцип оптимальності Беллмана.-37

Метод Гоморі.-27

Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.-30

Метод Франка-Вульфа. Алгоритм розв’язування ЗНП.-36

Модель ЗЛП в розгорнутому і скороченому вигляді, а також в матричній і векторній формах.-11

Необхідність використання матем моделювання екон процесів.-3

Означення планів ЗЛП (допустимий, опорний, оптим).-13

Побудова опорного плану ЗЛП, перехід до ін опорного плану.-14

Поняття адаптації та адаптивних систем.-8

Поняття про опуклі ф-ції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програм-ня на площині.-31

Постановка задачі квадратичного програм-ня та її матем модель.-34

Постановка ЗНП, матем модель. Геометрична інтерпретація.-28

Принципи модел-ня соц-екон систем і процесів.-1

Проблеми оцінювання адекватності моделі.-6

Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.-17

Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.-32

Способи перевірки адекватності екон-матем моделей.-7

Сутність адекватності екон-математ моделей.-5

Сутність екон-математ моделі.-2

Сутність оптимізаційних моделей. Приклади екон задач математ програм-ня.-9

Теорема про оптимальність розв’язку ЗЛП симплекс-методом.-15

Теореми двоїстості, їх екон інтерпретація.-20

Цілочислове програмування. Область застосування цілочислових задач в плануванні й управлінні вир-вом.-25