50.Знаходження похідної логарифмічної та показникової ф-ції за схемою.

51.Логарифмічне диференціювання.

Розглянемо знаходження похідної ф-ції . Для цього прологарифмуємо спочатку дві частини рівності:

Диференціюючи обидві частини отримаємо: - похідна степенево-показникової ф-ції

Висновок: Щоб знайти похідну степенево-показникової ф-ції, достатньо продиференціювати її спочатку як степеневу, а потім як показникову та додати отриманні результати Зауваження Метод знаходження похідної за допомогою попереднього логарифмування має назву логарифмічного диференціювання. Похідна називається логарифмічною похідною або відносною швидкістю зміни ф-ції.

Наприклад: Знайти похідну ф-ції . Розв’язок: -диференціюємо спочатку як степеневу, потім - як показникові та додаємо.

Відповідь: .

52.Означення диференціалу ф-ції та його геометричний зміст…

Озн: Диференціалом ф-ції називається головна, лінійна відносно частина приросту ф-ції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної: .

Інваріантність форми диференціалу. Розглянемо важливу властивість диференціалу, якої не мають похідні. Розглядаючи ф-цію y=f(x) як ф-цію незалежної змінної х, ми отримали, що . Розглянемо ф-цію y=f(u), де аргумент сам є ф-цією від х, тобто розглянемо складну ф-цію . Якщо ф-ції y=f(u) та диференційовані ф-ції відносно своїх аргументів, тоді похідна складної ф-ції: . У цьому випадку диференціал ф-ції: , враховуючи що , то або . Остання рівність означає, що формула диференціалу не змінюється, якщо замість ф-ції від незалежної змінної х розглядати ф-цію від залежної змінної и. Ця властивість отримала назву інваріантність(тобто незмінності форми(формули)диференціалу).

Застосування диференціалу до наближених обчислень: з наведених вище формул витікає, що приріст ф-ції відрізняється від її диференціалу на нескінченно малу величину більш високого порядку, ніж . Тому при достатньо малих значеннях або . Чим менше значення , тим точніша формула. Формула використовується для наближених обчислень:

53.Теорема Ферма та Роля. Теорема Лагранжа та її висновки.

Теорема Ферма: Якщо диференційована на проміжку Х ф-ція y=f(x) досягає найбільшого або най меншого значення у внутрішній точці цього проміжку, то похідна функції у цій точці дорівнює 0, тобто .

Теорема Роля: Нехай ф-ція y=f(x) задовольняє наступним умовам:

1)неперервна на відрізку ;

2)диференційована на інтервалі ;

3)на кінцях відрізку приймає рівні значення, тобто .

Теорема Лагранжа: Нехай ф-ція y=f(x) задовольняє наступним умовам:

1)неперервна на відрізку ;

2)диференційована на інтервалі ;

Тоді в середині відрізка існує, по крайній мірі, одна така точка , в якій похідна = частці від ділення приросту ф-ції на приріст аргументу на цьому відрізку, тобто ;

Механічний зміст теореми Лагранжа: Приріст - це змінення ф-ції на відрізку ; - середня швидкість змінення ф-ції на відрізку . Значення похідної у точці - це миттєва швидкість змінення ф-ції.

Висновок: Теорема стверджує, що існує хоча б одна точка в середині відрізка така, що швидкість змінення ф-ції у ній = середній швидкості змінення ф-ції на цьому відрізку.

54.Правило Лапіталя для розкриття невизначеностей.

Теорема: Границя відношення двох нескінченно-малих або нескінченно-великих ф-цій = границі відношення їх похідних, якщо остання існує у певному розумінні. Тобто, невизначеність виду або , то

55.Озн. ф-ції п незалежних змінних…

56.Озн. границі ф-ції двох змінних. Властивості границь. Озн. неперервної ф-ції.

57.Дайте озн. Частинних та повного приростів ф-ції двох змінних.

58. Дайте озн. Частинних похідних ф-ції …

59.Дайте означення повного диференціалу ф-ції, поясніть його геометричний зміст.

Озн: Повним диференціалом ф-ції двох незалежних змінних називається сума добутків частинних похідних цієї ф-ції на прирости відповідних незалежних змінних, тобто:

Враховуючи, що для ф-ції згідно : то формулу диференціала можна подати: або .

- мають назву частинних диференціалів.

Висновок: Диференціал ф-ції двох незалежних змінних є головна, лінійна відносно та частина повного приросту ф-ції.

Застосування повного диференціалу до наближених обчислень.

Нехай треба знайти наближено значення ф-ції у точці через значення ф-ції у точці за допомогою повного диференціалу. Згідно означення повного приросту ф-ції .

Зауваження: На відміну від ф-ції однієї змінної, у випадку ф-ції двох змінних існування частинних похідних є лише необхідною, але недостатньою умовою диференційованості ф-ції.

Теорема: Якщо частинні похідні ф-ції існують у околі точки, та неперервні у самій точці , то ф-ція диференційована у цій точці.