Додавання випадкових складових похибки

Для додавання ВСП не можна використовувати довірче значення похибки при довільно вибираємих значеннях довірчої ймовірності , так як довірчий інтервал суми не дорівнює сумі довірчих інтервалів складових.

Для практичного вирішення задач додавання складових випадкових похи-

бок і визначення відповідної числової оцінки сумарної похибки використовують їх середні квадратичні відхилення.

ВСП додаються геометрично, тобто, вираховується корінь квадратичний із суми квадратів середніх квадратичних відхилень (СКВ) всіх складових. Таким чином, сумарне СКВ випадкової похибки при незалежних складових дорівнює:

(3.40)

Далі, для переходу до довірчої межі інтервалу невизначеності сумарної абсолютної випадкової складової похибки, використовується формула:

(3.41)

На рівні довірчої ймовірності =0,9 -0,95 коефіцієнт Стьюдента =2 (приймається рівним 2).

У випадках, коли вже відомі довірчі інтервали по кожній складовій випадкової похибки , то сумарна випадкова похибка дорівнює:

. (3.42)

ДОДАВАННЯ СИСТЕМАТИЧНИХ СКЛАДОВИХ ПОХИБОК

При оцінці результуючої систематичної похибки як абсолютні, так і відносні ССП додаються алгебраїчно, тобто, з урахуванням знаку:

. (3.43)

Як ми вже знаємо з Вами, особливість систематичної похибки в тому, що вона може бути усунена за допомогою поправки із зворотним знаком. Але перед усім вона повинна бути визначена. Якщо ми знаємо, що наш засіб, вимірювання має ССП, то її можна визначити шляхом вимірювання даної фізичної величини за допомогою зразкового приладу (ЗВ) більш високого класу точності.

Але точність і зразкового ЗВ має також кінцеве значення, яке визначається його класом. Тому поправки на систематичну складову похибки, визначені за його допомогою, у загальному випадку теж будуть мати якусь додаткову похибку, яка може мати любий знак з рівною ймовірністю. Таку додаткову похибку називають неусуненим залишком систематичної похибки. Для її урахування вона теж вводиться в квадраті в формулу під із складових дисперсій.

У загальному випадку, рахуючи складові систематичної похибки взаємонезалежними, використовують також для визначення сумарної систематичної похибки формулу геометричного складання. При цьому враховують також, що систематичні похибки в повній мірі визначаються випадковими причинами, і для їх урахування вводять поправочний коефіцієнт , який залежить від довірчої ймовірності і декілька значень якого приведені у таблиці нижче. Формула геометричного складання має вигляд:

(3.44) або (3.45)

	0,9	0,95	0,98	0,99
	0,95	1,1	1,3	1,4

МОЖЛИВІ СПРОЩЕННЯ ДОДАВАННЯ ПОХИБОК

Найбільш важливими моментами викладеної вище методики додавання похибок є знаходження СКВ всіх складових по відомим їхнім інтервальним оцінкам і визначення інтервальної оцінки сумарної похибки, по отриманому в результаті розрахунку її СКВ, так як перехід від інтервальної оцінки похибки до СКВ і навпаки вимагають знання форми закону розподілу.

Звідси шляхи можливого спрощення методики додавання похибок зводяться до використання спрощених методів таких переходів.

1. Один із можливих методів ми вже використовували і він базується на тому, що при додаванні великого числа складових, закон розподілу результуючої похибки наближається до нормального. Але таке припущення є ризиковане і використовується при невисоких технологічних вимогах до точності сумарної похибки. Перехід від до приведеної виконується за де - квантільний множник, який визначається по таблицям квантілів нормального розподілу і довірчій ймовірності, або вибирається відповідне значення квантільного множника Стьюдента при малому числі вимірювань.

2. Другий шлях спрощення переходу від до при визначенні сумарної похибки грунтується на використанні значення довірчої ймовірності , при якій для більшої групи класів різних розподілів зберігається постійним співвідношення . Результуючий розподіл теж належить до цієї ж групи класів і для нього справедливе це ж співвідношення.

Ця унікальна властивість похибки при відкриває можливість різкого

спрощення методу розрахункового додавання похибок. Так, якщо складові, що додаються, задані своїми значеннями , то значення їхніх СКВ ; далі використовуємо , яку знову ж таки переводимо до інтервальної

оцінки Або можемо просто записати: .

3. Використовуючи довірчі межі (це або , або ...), необхідно врахувати наступне: ці границі довірчої межі розміщуються симетрично тільки тоді, коли в ЗВ чи вимірювального каналу відсутня ССП . Якщо , то границі похибки є несиметричними. Наприклад, якщо приведена допустима похибка , а то межа одна (нижня) = -0,4 + 0,1 = 0,3%, а друга (верхня) = +0,4 +0,1 = +0,5%. Знак похибки частіше за все є невідомим і ввести поправку неможливо. Використовувати такі межі в подальших розрахунках дуже незручно.

Тому, на практиці замість використання несиметричних меж переходить до показу симетричних, рівних по модулю найбільшій межі із несиметричних, тобто, замість запису: „похибка знаходиться в межах від -0,3% до +0,5%” переходять до запису „похибка знаходиться в межах ”. Імовірність виходу похибки за такі симетричні межі вже в 2 рази менше, так як такий вихід може відбутися практично тільки з однієї сторони, а не з обох. У результаті, якщо була опреділена з , то результуюча є похибкою з довірчою ймовірністю .

Таким чином, якщо , або точніше то результуюча похибка легко визначається через модуль ССП та .

.

Однак подальше спрощення методики додавання похибок, як , наприклад, нехтуванням розділу похибок на сильно та слабо корельовані (в цьому випадку додаються складові, які в дійсності повинні відніматись, тобто, не виконується алгебраїчне додавання ), або нехтуванням розділу похибок на адитивні та мультиплікативні, вже недопустимо і веде до великих помилкових результатів при визначення сумарної похибки інформаційно-вимірювальних систем.

4. Можна використовувати наступні співвідношення для переходу від СКВ до інтервальної оцінки для інших законів розподілу:

А. Рівномірний закон розподілу: коефіцієнт переходу .

Б. Трикутний закон розподілу (а- основа, - висота трикутнука): .

В. Трапецієвидний закон розподілу: коефіцієнт переходу залежить від

співвідношення сторін трапеції (а- нижня, в – верхня):

;

Рівномірний закон розподілу мають:

1. похибки квантування в цифрових приладах;

2. похибки при округленні в розрахунках;

3. похибки при відліку показів аналогових приладів;

4. похибки від тертя в приладах з кріпленням рухомої частини на кернах або підп’ятниках;

5. автоматичні мости і потенціометри з слідую чим електромеханічним приводом;

6. похибка визначення моменту часу для кожного із кінців інтервалу часу в електронних вимірювачах частоти.

Коливання напруги живлення змінного струму в енергосистемі постачання підпорядковується приблизно трикутниковому розподілу. Тому якщо відомо, що напруга живлення приладу змінюється в межах 5% від номінального 220В, то закон розподілу цієї зміни є трикутним з максимальним відхиленням 11В.