Моменти розподілу

Крім характеристик розподілу – середніх, які є типовими характеристиками випадкових величин, використовуються так звані моменти, які є параметрами законів розподілу. Розрізняють так звані: початкові моменти і центральні моменти S- ного порядку.

Під початковим моментом S- ного порядку для випадкової величини Х називається інтеграл виду:

α_S[X] = = M[X^S]. (3.27)

Тобто, початковим моментом S-ного порядку випадкової величини Х називається математичне очікування в S-ній степені цієї випадкової величини. При S=1, дістаємо M[X], яке характеризує постійну складову розподілу.

Центральним моментом S-ного порядку для безперервної випадкової похибки є інтервал виду:

μ _{S =} (3.28)

Найбільше значення має другий центральний момент, який називається дисперсією випадкової похибки і який характеризує розсіювання окремих значень ВП відносно центру розподілу (математичного сподівання).

μ ₂= Dx= (3.29)

Він являє собою, за аналогією в механіці, інтерпретацію відповідного моменту інерції заданого розподілу мас, відносно центру ваги (M[X]).

Дисперсія має розмірність квадрату випадкової величини (ВП) і виражає потужність розсіювання відносно постійної складової.

Для більш наглядної характеристики розсіювання використовують величину, розмірність якої співпадає з розмірністю випадкової похибки. Для цього з дисперсії добувають корінь квадратний і позитивне значення величини, яку дістають, називають середнім квадратичним відхиленням (СКВ) ВП і зображуєть як σ _Х:

σ _Х = + = (3.30)

Середнє квадратичне значення випадкової величини - це її ефективне (дійсне) значення, подібно до діючого в енергетичному розумінні значенню струму або напруги в електричних лініях із складними формами кривої струму.

У загальному випадку, коли не викликає сумніву, до якої випадкової величини відносяться ці характеристики, інколи позначки х у σ_Х та Dx не ставлять, а пишуть просто σ та D.

ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОГО КВАДРАТИЧНОГО ВІДХИЛЕННЯ

Для визначення оцінки дисперсії по результатам дослідних вимірювань замість інтегралу для μ₂ використовують співвідношення:

D_x = , якщо n<20, (3.31)

де Хі – значення окремих вимірювань, - координата центру розподілу; n –

кількість вимірювань ( об’єм вибірки).

Звідси оцінка С.К.В., тобто, розсіювання окремих результатів вимірювання Хі відносно середнього .

σ_х= (при n<20) (3.32)

Для визначення С.К.В. при кількості вимірювань n≥20 доцільно використовувати:

σ _х= (при n≥20). (3.33)

Основним призначенням та перевагою оцінки розсіювання (розкиду) ВП за середнім квадратичним значенням σ_х або дисперсією є можливість визначення дисперсії суми статистично незалежних величин як суми дисперсій складових, не дивлячись на можливі різні закони закону розподілу кожної із величин, що додаються, і не враховуючи можливу деформацію законів розподілу при утворенні композиції. D= D.

Використання С.К.В. σ_х і його квадрату σ_х² = D_x, яке дорівнює дисперсії,

дає можливість:

• Розрахунковим шляхом складати будь-яке число незалежних складових

похибки ЗВ і отримати сумарну похибку ЗВ. Для цього окремі складові похибки ЗВ потрібно попередньо надати своїми середніми квадратичними значеннями σ_х та провести геометричне додавання (геометричне додавання – це додавання через корінь квадратний із суми квадратів складових):

σ_∑= (3.34)

• достатньо точно вирахувати похибку при проектуванні або ЗВ, або інформаційно-вимірювального каналу (ІВК) з наперед заданою сумарною похибкою, використовуючи значення нормованих похибок усіх пристроїв, які складають ЗВ або інформаційно-вимірювальний канал.