2.8. Представление данных в виде графа

Графом называется кортеж двух множеств

G = <X, R>,

где X = {x₁, x₂, ..., x_n} – множество вершин,

R = {r₁, r₂, ..., r_m} – множество рёбер (дуг), соединяющих вершины множества X.

Если дуги не имеют направлений, то граф называется неориентированным. Если дуги имеют направления, то граф называется ориентированным. Часто граф изображается в виде схемы.

В неориентированном графе каждая дуга – это множество, состоящее из двух элементов, соединяющихся данной дугой. Например, если r_i соединяет вершины x_j и x_k, то r_i = {x_j, x_k}.

В ориентированном графе каждая дуга r_i представляется кортежем, то есть r_i = <x_j, x_k>. При этом в первой позиции указывается вершина, из которой дуга исходит, а во второй позиции – вершина, к которой эта дуга направлена.

Например,

Данный граф – неориентированный. Здесь множество вершин состоит из семи элементов X = {x₁, ..., x₇}, а множество дуг – из восьми элементов R = {r₁, ..., r₈}, где r₁ = {x₁, x₂}, r₂ = {x₁, x₃}, r₃ = {x₁, x₅} и т.д.

Например, для рассматриваемого примера графы описания интенсионала типа объекта СЛУЖАЩИЙ имеют следующий вид:

Первый граф определяет тип объекта СЛУЖАЩИЙ как агрегат атрибутов, составляющих этот тип. Второй граф показывает, что атрибут Номер является ключевым.

Заметим, что схемы агрегации и обобщения являются графами. С помощью графа можно показать ключевой атрибут. В таком графе вершины соответствуют атрибутам, составляющим тип. Вершину, соответствующую ключевому атрибуту, соединяют направленными дугами с вершинами, соответствующими другим атрибутам. Если ключ составной (состоит из нескольких атрибутов), то в графе указывается формальная (внутренняя) вершина, позволяющая связать атрибуты, составляющие ключ, и остальные атрибуты.

Например, тот факт, что в типе объекта

ПОСТАВЩИК(Имя, Адрес, Товар, Сумма, Количество)

ключ состоит из атрибутов Имя и Адрес, можно показать следующим графом:

Граф – это удобная форма представления связей (как интенсиональных, так и экстенсиональных). При этом каждая вершина представляет тип объекта, конкретную реализацию или множество реализаций. Дуги между вершинами соответствуют типу связи или реализации связи. Связь, обычно, именуется, а дуга, которой она изображается, соединяет две вершины, помечаемые именами типов объектов.

Например, тип связи НАНИМАТЕЛЬ типов объектов СЛУЖАЩИЙ и КОМПАНИЯ можно представить следующим образом:

Часто в моделях данных одновременно используют графы и таблицы: граф с вершинами-таблицами. В этом случае связи между атрибутами одного и того же типа объекта представляются таблицами, а связи между типами объектов – дугами графа.

2.9. Отображение

Правило (обозначим его R), которое элементам одного множества (например, S₁) ставит в соответствие элементы другого множества (например, S₂), называется отображением из S₁ в S₂. Кратко это записывается следующим образом:

Пусть S₁ = {c₁, c₂, . . ., c₆}, S₂ = {d₁, d₂, . . ., d₇} и задано конкретное отображение R : S₁ → S₂.Тогда графически подобное отображение можно представить следующим образом:

Здесь показано, какие соответствия устанавливает данное отображение R для каждого элемента множества S₁ с элементами множества S₂.

R : S₁ → S₂.

Отображение описывает связь элементов множества S₁ с элементами множества S₂.

Отображение используется в моделировании данных как способ описания связей как между атрибутами, так и между типами объектов. При этом имеются в виду связи между элементами множеств, поскольку атрибуты и типы объектов представляются множеством конкретных реализаций. Рассматривая эти связи, предполагается, что существует некоторое правило, которое ставит в соответствие элементам одного множества элементы другого множества. Если это правило известно, то оно формулируется интенсионально, а если неизвестно, то может быть представлено экстенсионально перечислением связанных элементов. Связи между элементами этих множеств могут быть различны. Соответственно этому будут различны и отображения. Кроме них, могут существовать и различные отображения из S₂ в S₁, которые элементам множества S₂ ставят в соответствие элементы множества S₁.

Если a – элемент множества S₁ (то есть a  S₁), то множество соответствующих ему элементов в S₂ называется его образом при отображении R и обозначается R(a). Совокупность всех элементов в S₁, образом которых является элемент b  S₂, называется прообразом этого элемента.

Отображение Q : S₂ → S₁ называется обратным отображению R : S₁ → S₂, если оно любому элементу b  S₂ ставит в соответствие такое множество Q(b) элементов в S₁, образом которых при отображении R является данный элемент b, то есть b = R(Q(b)). Таким образом, обратное отображение – это не любое отображение из S₂ в S₁, а непосредственно связанное с прямым указанным выше требованием. Заметим, что для любого отображения существует обратное ему отображение. Отображение, обратное отображению R : S₁ → S₂, обозначается R^-1 : S₂ → S₁.

Следует иметь в виду, что правило соответствия (то есть отображение) может быть задано как угодно – формулой, таблицей, словесным описанием и т.д.

Например, пусть в документе НА_СКЛАДЕ для каждого склада указаны все находящиеся в нем виды товаров, а в документе ГДЕ_ТОВАР для каждого вида товара указано, в каких складах находятся товары этого вида. При этом данные документы соответствуют друг другу (согласованы друг с другом). Тогда в краткой форме это выражается следующим образом:

НА_СКЛАДЕ : СКЛАД → ТОВАР

ГДЕ_ТОВАР : ТОВАР → СКЛАД

НА_СКЛАДЕ = ГДЕ_ТОВАР^-1

С помощью отображений, в частности, удобно записывать условия принадлежности при интенсиональном определении отношений.

Например, пусть необходимо записать отношение ПОСТАВКА между множествами

ПОСТАВЩИК = {p₁, p₂, ..., p_n} и

ТОВАР = {t₁, t₂, ..., t_m}

при условии, что поставщик поставляет данный товар.

Декартово произведение этих множеств можно записать так:

Q = ПОСТАВЩИК × ТОВАР = {<p, t> | p  ПОСТАВЩИК; t  ТОВАР}

Для записи отношения необходимо указать дополнительное условие. Для этого определим отображение

ПОСТ : ПОСТАВЩИК → ТОВАР

Тогда отношение ПОСТАВКА записывается следующим образом:

ПОСТАВКА = {<p, t> | p  ПОСТАВЩИК; t  товар; t  ПОСТ(p)}

Здесь ПОСТ(p) – образ элемента p в множестве ТОВАР, то есть множество всех товаров, поставляемых поставщиком p. Запись t  ПОСТ(p) означает, что t – один из товаров, поставляемых поставщиком p.

Если для каждого a  S₁ существует образ в S₂, то есть R(a)  S₂, то R называется полным (полностью определенным на S₁) отображением. Если в S₁ существуют элементы, для которых нет образов в S₂, то R называется частичным или неполным (частично определенным на S₁) отображением.

Данный рисунок показывает, что отображение R является неполным, а R^-1 – полным.

Здесь образы элементов множества S₁ находятся в множестве S₂ и формируются отображением R. При этом прообразы устанавливаются для элементов множества S₂ и находятся в S₁. Например, для c₃ образом является множество R(c₃) = {d₂, d₃, d₄}, а прообраз элемента d₃ – множество R ^–1(d₃) = {c₁, c₃}.

Например, из данного рисунка видно, что кардинальное число элемента c₁ равно трем, элемента c₂ – нулю, элемента c₆ – двум.

Из рисунка следует, что для отображения R : S₁ → S₂ минимальное кардинальное число равно нулю, а максимальное – трем. Для обратного отображения R^–1 : S₂ → S₁ минимальное кардинальное число равно единице, а максимальное – трем.

Количество элементов одного множества, связанных с одним элементом другого (то есть количество элементов в образе этого элемента), называется кардинальным числом данного элемента. Для любого отображения можно определить минимальное и максимальное кардинальные числа. Минимальным (максимальным) кардинальным числом при отображении R : S₁ → S₂ называется минимальное (максимальное) количество элементов в образах элементов множества S₁. Заметим, что значение минимального кардинального числа указывает на полноту отображения: для полного оно больше нуля, а для частичного – равно нулю.