Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ли нейные пространства

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
753.27 Кб
Скачать

Министерство образования и науки РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮ Декан ФПМК

________ А. М. Горцев

20 октября 2004 г.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Учебно-методическое пособие

Томск

2004

РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.

ПРОТОКОЛ № 20 от 14 июня 2004 г.

 

Председатель комиссии

 

профессор

С.Э.Воробейчиков

В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.

Составители: К.И.Лившиц Л.Ю.Сухотина

2

1. Линейные пространства. Определение

Определение. Множество X называется линейным пространством над полем K, если:

1. Существует закон, который позволяет каждым двум элементам x , y X поставить в соответствие элемент z X , на-

зываемый суммой и обозначаемый

zx y

2.Существует закон, который позволяет каждому элементу

x X и каждому числу K поставить в соответствие элемент z X , называемый «произведением элемента x на число » и обозначаемый

zx

3.Законы, введенные в X, удовлетворяют следующим аксиомам:

1.x y y x , x, y X

2.

x y z x y z , x, y, z X

 

 

 

 

 

 

3.

 

0

X x X x

0

x

 

 

4.

x X x 1 X : x x 1

0

 

5. x x x X , K

6. x x x x X , K

7.

x y x y x, y X K

8.

1 x x

x X , где 1 — единица поля K.

Элементы

пространства X обычно называют векторами,

элемент 0 — нулевым вектором, элемент x 1 противоположным (обратным) к вектору x .

Из определения непосредственно вытекают следующие элементарные свойства линейного пространства:

1. В любом линейном пространстве существует единствен-

ный 0 .

2.В любом линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

3.Для всякого вектора x

0 x 0

4.Для всякого вектора x

x1 1 x

3

При ме ры:

1.Рассмотрим множество квадратных матриц n-го порядка

свещественными элементами. Поле K — поле вещественных чисел. Законы сложения элементов и умножения на число определены в матричном анализе. Из свойств сложения матриц и умножения матрицы на число следует выполнение аксиом 1—8.

В частности, 0 является нулевая матрица n-го порядка. Следовательно, данное множество есть линейное пространство.

2. Линейным пространством является также множество V3 геометрических векторов, операции над которыми были определены в векторном анализе. Поле K – поле вещественных чисел. Сами проверьте, что аксиомы 1—8 выполняются.

3. Рассмотрим множество Pn, элементами которого являются упорядоченные наборы из n вещественных чисел.

x x1 , x2 ,..., xn

Поле K — поле вещественных чисел. Сложение и умножение на число определяется следующим образом. Если

y y1 , y2 ,..., yn , то x y , если xi

 

 

 

yi

i 1, n

x y x1 y1 , x2 y2 , ..., xn yn

x x1 , x2 , ..., xn

Сами проверьте выполнение аксиом 1—8. Нулевой вектор в данном случае это упорядоченный набор n нулей 0 (0,0, ,0) .

Данное пространство называется арифметическим пространством.

1.1. Задачи

Проверить образуют ли следующие множества линейные пространства. Операции сложение элементов и умножение на число определены общепринятым образом. Поле K — поле вещественных чисел.

1.Множество n-мерных симметричных матриц с вещественными элементами.

2.Множество n-мерных кососимметричных матриц с вещественными элементами.

4

t1 x1 t2 x2 ... tm xm 0

3.Все векторы плоскости, концы которых лежат на данной прямой, а начало совпадает с началом системы координат.

4.Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

5.Все многочлены степени k n от одного неизвестного с

вещественными коэффициентами.

6. Все многочлены степени n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.

2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.

Рассмотрим линейное пространство X над полем K. Пусть

x1

,..., xm X ,

t1 ,...,tm K . Линейной комбинацией векторов

x1

,..., xm пространства X называется сумма вида

 

 

t1 x1 t2 x2 ... tm xm

Числа t1 ,t2 ,...,tm называются коэффициентами линейной

комбинации.

Определение. Элементы x1 , x2 ,..., xm пространства X называются линейно зависимыми, если существуют числа t1 ,t2 ,...,tm не все равные нулю одновременно такие, что линейная комбинация

(2.1)

Если же равенство (2.1) выполнено только тогда, когда все числа ti 0 , то векторы xi называются линейно независимыми.

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости векторов является равенство одного из них линейной комбинации других.

При ме ры

1. Рассмотрим пространство геометрических векторов V3. В нем два вектора линейно зависимы, когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы, когда они компланарны. Всякие четыре вектора этого пространства всегда линейно зависимы.

5

ров e1 , e2 ,..., en

2. Рассмотрим арифметическое пространство Rn. Попытаемся построить линейно независимую систему векторов этого пространства. Рассмотрим k векторов

xi x1i , x2i ,..., xni , i 1, k

Если xi линейно зависимы, то t1 ,t2 ,...,tk 0 одновременно такие, что

t1 x1 t2 x2 ... tk xk 0

где 0 0, 0, ..., 0 – ноль пространства Rn. По определению Rn отсюда следует, что

k

 

 

 

xji ti 0 , j 1, n

 

 

 

i 1

 

 

 

Получаем в результате относительно ti систему n линейных

однородных уравнений с k неизвестными и матрицей

x

 

раз-

 

 

ji

 

мера n k . Такая система имеет только нулевое решение, если

Rang x k

ji

и имеет ненулевое решение, если

Rang x k

ji

Отсюда следует, что в пространстве Rn не может быть больше, чем n линейно независимых векторов. Линейно независимыми являются всякие векторы, компоненты которых образуют матрицу полного ранга. Например, n векторов

x1

1, 0,..., 0

 

x2

0,1,..., 0

(2.2)

...

 

 

 

xn

0, 0,...,1

 

Определение. Совокупность линейно независимых вектопространства X называется базисом этого про-

странства, если x X найдутся такие числа

x1 , x2 ,..., xn K ,

что справедливо равенство

 

x x1e1 x2e2 ... xnen

(2.3)

6

Соотношение (2.3) называется разложением вектора x по базису.

В силу линейной независимости векторов базиса разложе-

ние (2.3) определяется единственным образом.

 

Определение. Коэффициенты x1 , x2 , ..., xn

разложения век-

тора

x по базису e1 , e2 , ..., en

называются координатами векто-

ра x

относительно базиса.

 

 

При ме р . Совокупность векторов (2.2) образует очевидно

базис

пространства Rn,

так как для

всякого вектора

x x1 , x2 ,..., xn имеет место разложение

 

x1 , x2 ,..., xn x1 1,0,...,0 x2 0,1,...,0 ... xn 0,0,...,1

При решении задач полезно помнить, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы векторстолбцы из их координат относительно произвольного базиса.

Определение. Если в линейном пространстве X существует n линейно независимых векторов, а всякие n 1 вектор этого пространства линейно зависимы, то число, n называется раз-

мерностью линейного пространства dim X n

Само линейное пространство X называется при этом n-мерным. Линейное пространство, в котором можно указать сколь угодно большое число линейно независимых векторов называется бесконеч-

но мерным.

При ме ры

1. Пространство V3. В этом пространстве всякие три некомпланарных вектора линейно независимы, а всякие четыре вектора линейно зависимы. Следовательно, dimV3 3 .

2. Пространство Rn. В этом пространстве всякие n 1 вектор линейно зависимы и существуют системы из n линейно независимых векторов, например, система векторов (2). Следовательно, dim Rn n

7

Если в линейном пространстве X существует базис из n векто-

ров, то dim X n , обратно, если

dim X n , то всякая система из n

линейно независимых векторов образует базис пространства X.

Всякие два базиса e1 , e2 , ..., en и

e1 , e2 , ..., en

простран-

ства X связаны между собой симметричными формулами

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei aji ej

i 1, n

 

(2.4)

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei aji ej

i 1, n,

 

(2.5)

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где невырожденные матрицы

A a

ji

и

A a

являются

 

 

 

 

ji

 

взаимно обратными, i-й столбец матрицы A образуют координа-

ты вектора e

в базисе из векторов e , e , ..., e . Формулы (2.4) и

i

 

 

 

 

 

 

1

2

n

 

(2.5) называются формулами перехода,

матрицы A и

A

матрицами перехода.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если x , x ,..., x

и

x , x ,..., x

– координаты вектора

x в ба-

1 2

 

n

 

1

2

n

 

 

 

 

 

зисах e , e , ..., e

и e , e

, ..., e , соответственно, то

 

1 2

n

1

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

aij xj

i 1, n

 

(2.6)

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1, n

 

(2.7)

 

 

 

 

i

ij j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

При ме р : Доказать, что каждая из данных двух систем век-

торов является базисом R3 и найти связь координат одного и то-

го же вектора

x

в этих двух базисах:

 

 

e1 1, 2,1

 

e2

2,3,3

e3

3,7,1

 

e1 3,1, 4

e2 5, 2,1

e3

1,1, 6

 

Для доказательства того, что данные системы векторов являются базисными, вычислим, как и в предыдущем примере, ранги матриц

8

1

2

3

3

5

1

B 2

3

7

 

и C

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

1

 

4

1 6

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно убедиться, что RangB RangC 3 , и, следова-

тельно, в R3 данные системы векторов образуют базисы. Для определения связи координат необходимо получить формулы пере-

хода (2.4) и (2.5). Имеем

3,1, 4 a11 1, 2,1 a21 2,3,3 a31 3,7,1

5, 2,1 a12 1, 2,1 a22 2,3,3 a32 3,7,1

1,1, 6 a13 1, 2,1 a23 2,3,3 a33 3,7,1

Откуда получаем систему девяти скалярных уравнений

a11 2a21 3a31 3 2a11 3a21 7a31 1 a11 3a21 a31 4 a12 2a22 3a32 5 2a12 3a22 7a32 2 a12 3a22 a32 1 a13 2a23 3a33 1 2a13 3a23 7a33 1 a13 3a23 a33 6

Решая системы уравнений, получаем матрицу перехода

27

71

41

A

9

20

9

 

 

 

 

 

4

12

8

 

 

 

 

и связь между «старыми»

x , x , x

и «новыми»

x , x , x

коорди-

 

1

2

3

 

 

1

2

3

 

натами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 27x 71x 41x

 

 

 

 

1

 

1

 

2

3

 

 

 

 

x 9x

20x 9x

 

 

 

 

 

2

1

 

2

3

 

 

 

 

 

x 4x

12x

8x

 

 

 

 

 

3

1

 

2

3

 

 

 

 

 

9

2.1.Задачи

1.Доказать, что если система векторов x1 , x2 , ..., xn содержит нуле-

вой вектор, то совокупность векторов линейно зависима.

2. Доказать, что если часть из векторов x1 , x2 , ..., xn линейно зависи-

ма, то и вся эта совокупность векторов линейно зависима.

 

Векторы e1 , e2 , ..., en

и x

 

заданы своими координатами в не-

котором базисе. Показать,

что векторы e1 , e2 , ..., en

сами обра-

зуют базис и найти координаты вектора

x в этом базисе:

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

6

 

 

 

e 1 , e

 

1 ,

e

 

2 ,

x

9

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

1

 

 

6

 

 

 

e

 

1

,

e

2

, e

2

,

x

 

2

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

3

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2 ,

e

3

, e

2

,

e

3

,

x 14

1

 

1

 

2

 

0

 

 

3

1

 

 

4

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Доказать, что каждая из двух систем векторов являе т- ся базисом, и найти связь координат одного и того же ве к- тора в этих двух базисах.

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 1

,

e

2

,

e

1

,

e

3

1

1

 

2

 

1

 

3

 

2

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.