ли нейные пространства
.pdf
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||
e |
|
0 |
, e |
|
3 |
, |
|
|
2 |
, |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|||||||
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
5 |
|
3 |
|
5 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Доказать |
|
линейную независимость |
системы функций |
||||||||||||
e 1x , ..., e n x , где |
, |
2 |
, ..., |
n |
– попарно различные действительные |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числа.
8.Определить размерность линейного пространства квадратных матриц n-го порядка.
9.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса;
в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
3. Подпространства линейного пространства
Определение. Всякое подмножество L линейного пространства X, заданного над полем K, которое, в свою очередь, является линейным пространством, называется линейным подпространством.
Для того, чтобы подмножество L линейного пространства X являлось линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
1.x, y L x y L
2.x L и K L
При ме ры
1.Рассмотрим векторы пространства Rn, координаты кото-
рых удовлетворяют уравнению
x1 x2 ... xn 0 , x1 , x2 , ..., xn x
Покажем, что они образуют линейное подпространство в Rn. Пусть y y1 , y2 , ..., yn . Тогда
x y x1 y1 , x2 y2 , ..., xn yn
11
x x1 , x2 , ..., xn
и для координат векторов x y и x выполняются условия 1 и 2:
x1 y1 x2 y2 ... xn yn 0
x1 x2 xn 0
2. Рассмотрим подмножество симметричных матриц линейного пространства квадратных матриц n-го порядка. Покажем, что они образуют линейное подпространство. Пусть
A a |
|
и |
B b |
симметричные матрицы. Матрицы |
||
ij |
|
|
|
ij |
|
|
A B a b |
и |
A a |
будут, очевидно, также симмет- |
|||
|
ij |
ij |
|
|
ij |
|
ричными, и, следовательно, данное подмножество является линейным подпространством.
Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений:
Размерность всякого линейного подпространства L про-
странства X не превосходит размерности самого пространства. |
||||||
Если в подпространстве L |
dim L k |
пространства X |
||||
dim X n задан |
базис e1 , e2 , ... , ek , |
то его можно всегда до- |
||||
полнить векторами ek 1 , ... , en |
из |
X |
так, |
что |
система |
|
e1 , e2 , ... , en образует базис пространства X. |
|
|
||||
Координаты |
x1 , x2 , ... , xn |
всякого |
вектора |
x Lk k- |
мерному подпространству n-мерного пространства X в любом базисе удовлетворяют некоторой системе линейных однородных уравнений
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0 a21 x2 a22 x2 ... a2 n xn 0
...
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0
ранга n-k.
Определение. Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.
Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L(M), натяну-
12
той на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.
Определение. Суммой L двух подпространств L1 и L2 одного и того же пространства X называется множество векто-
ров вида z x y , где |
x L1 и |
y L2 . |
Обозначается |
L L1 L2 . |
|
|
|
Сумма линейных подпространств |
L L1 L2 |
сама является |
|
линейным подпространством. |
|
|
|
Определение. Пересечением L линейных подпространств L1 и L2 называется совокупность векторов, принадлежащих одновременно L1 и L2. Обозначается L L1 L2 .
Пересечение линейных подпространств L L1 L2 также
является линейным подпространством.
Определение. Прямой суммой L двух подпространств L1 и L2 называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора. Обозн а- чается L L1 L2 .
Размерности суммы и пересечения подпространств L1 и L2 связаны между собой следующим соотношением
dim L1 L2 dim L1 dim L2 dim L1 L2
При ме ры
1. Определим размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующие векторы, заданные своими координатами
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0 |
, |
a 1 |
, |
a 1 |
, |
a |
2 |
, |
a 1 |
|||||||||
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
3 |
1 |
|
4 |
|
3 |
|
5 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе. Воспользуемся тем, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг
13
1 |
2 |
1 |
1 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
3 2 |
|
0 |
1 |
3 |
2 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
3 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ранг |
|
матрицы |
|
равен |
|
трем. |
|
Следовательно, |
dim L a1 , a2 , a3 , a4 , a5 3 . Базис образуют, например, следующие линейно независимые векторы a1 , a2 , a4 .
2. Найдем систему линейных уравнений, которая задает линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов, заданных своими координатами в некотором базисе e1 , e2 , e3 , e4
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
, |
|
1 |
|
, |
|
0 |
|
a |
|
a |
|
a |
|
|||||
1 |
|
1 |
|
2 |
0 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
решения задачи |
удобно |
найти сначала |
базис |
в |
||||||||||||
L a1 , a2 , a3 . |
Аналогично предыдущей задаче убеждаемся, |
что |
|||||||||||||||
базис образуют векторы a1 |
и a2 , например. Некоторыми векто- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рами b1 |
и b2 |
|
достроим базис a1 и a2 |
до базиса всего простран- |
|||||||||||||
|
|
. В новом базисе любой вектор x |
|
x , x , x , x |
|
||||||||||||
ства a , a , |
b |
, |
b |
||||||||||||||
1 |
|
2 1 |
2 |
|
|
1 |
2 3 |
4 |
из L будет иметь координаты, удовлетворяющие системе уравнений
x 0
3
x 0
4
Остается перейти теперь к системе уравнений относительно старых координат x1 , x2 , x3 , x4 вектора x относительно базиса ei . Они будут связаны с новыми координатами формулами перехода
4
xi aij xj , i 1, 4 , j 1
14
где a |
– матрица перехода от e , e , e , e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
к базису a , a , b , b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|||||||
Подставляя координаты векторов a1 и a2 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключая x и |
x , окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x3 x4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x3 x4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Найти размерности и базисы суммы и пересечения ли- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нейных подпространств L1 |
и L2, натянутых на векторы, заданные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
своими координатами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L : a 2 |
, a |
|
1 , |
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L : |
b |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нетрудно убедиться, что векторы a1 , |
a2 |
– базис в L1, а век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
торы |
b1 , |
b2 |
– базис |
|
в |
L2. Поэтому |
всякий вектор |
из |
L1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x 1a1 |
2 a2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а |
всякий |
вектор |
из |
L2 |
|
b1 |
b2 . |
|
Если |
|||||||||||||||||||||||||||||
z L1 |
L2 , |
то z x y . Таким образом, L L1 L2 |
это линейная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
оболочка векторов |
a1 , a2 , b1 , b2 . Аналогично первой задаче уста- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
что dim L 3, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
навливаем, |
|
а базис, например, a1 , a2 , b1 . |
Пусть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
M L1 L2 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dim M dim L1 |
dim L2 |
dim L1 |
L2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Остается найти базисный вектор в М. Пусть |
x M , тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x L1 |
и x L2 . Значит, |
существуют такие числа 1 , 2 |
и 1 , 2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
1a1 2 a2 1b1 2b2
Получаем для значений 1 , 2 и 1 , 2 , которые определяют
общие для L1 и L2 векторы, систему уравнений, которая в коор-
динатной форме имеет вид
1 2 2 1 2 0 2 1 2 3 1 2 2 01 2 1 2 2 0
Решая эту систему, получим 1 2 2 , 2 2 , 1 2 , где 2 - произвольно. Поэтому всякий вектор x из М имеет вид
3
x 2 2 a1 2 a2 2b1 2b2 5 21
3
Вектор x 5 можно принять за базис в M L1 L2 .
1
3.1. 3адачи
Доказать, что следующие системы векторов из Rn образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис:
1.Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координата равны между собой.
2.Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.
3.Все n-мерные векторы вида , , , , ..., , , где и
— любые числа.
4.Показать, что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса.
5.Показать, что решение системы линейных однородных
уравнений с n неизвестными ранга K образуют подпространство
Rn размерности n K .
6. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства Rn на единицу больше размерно-
16
сти их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.
7. Доказать, что пространство Rn |
есть прямая сумма двух |
||
линейных подпространств: |
L1 — |
заданного |
уравнением |
x1 x2 ... xn 0 и L2, |
заданного |
системой |
уравнений |
x1 x2 ... xn .
8. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов, заданных своими координатами
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
1 |
, |
a2 |
|
1 |
, |
a3 |
|
0 |
, |
a4 |
|
5 |
, |
a5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
0 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
1 |
, |
a2 |
0 |
, |
a3 |
|
1 |
, |
a4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
2 |
Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L1, натянутого на векторы a1 , a2 , ..., ak и L2, натяну-
того на векторы b1 , b2 , ..., bm
10.
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
a |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|||||
, |
, |
|
b |
, |
b |
|||||||||||||
1 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
11.
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
a |
, |
a |
|
, |
a |
|
, |
b |
|
, |
b |
|
, |
b |
||||||||||||
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов a1 , ..., ak и b1 , ..., bm
12.
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
2 |
, |
a |
3 |
, |
a |
2 |
, |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
3 |
||||||||||
b |
|
|
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a 1 |
, |
a 1 |
, |
a 0 , |
|
|
0 , |
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
b |
|
|
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства Rn, координаты которых x1 , ...x2 , ..., xn
удовлетворяют системе линейных уравнений
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2
...
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
Показать, что если к каждому вектору x подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор, то получится линейное многообразие.
18
4. Точечно-векторное аффинное пространство
Определение. Пусть некоторое множество Vn состоит из
элементов двух типов, которые будем называть «точками» и «векторами». Пусть при этом множество векторов образует n- мерное линейное пространство, а множество точек не пусто.
Множество Vn называется точечно-векторным аффинным пространством, если:
1.Каждая пара точек А1 и A2, заданных в определенном порядке, определяет единственный вектор x A1 A2 .
2.Для каждой точки А1, и каждого вектора x существует единственная точка A2, такая, что A1 A2 x .
3.Если x1 A1 A2 и x2 A2 A3 , то x1 x2 A1 A3 .
Пространство Vn называется n-мерным, если n-мерно соот-
ветствующее линейное пространство.
При ме р . Данному определению удовлетворяет, очевидно, обычное геометрическое пространство, в котором векторы вводятся как упорядоченные пары точек. Вторая аксиома соответствует возможности отложить любой вектор из произвольной точки, а третья аксиома соответствует определению сложения векторов.
4.1. Система координат в пространстве Vn
Если в пространстве Vn зафиксировать некоторую точку O, то в силу свойств 1 и 2 между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Вектор OA называется радиус-вектором точки А относительно точки O.
Определение. Системой координат в пространстве Vn, называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса e1 , e2 , ..., en в Vn.
19
Координатами вектора x в заданной системе координат пространства Vn называются координаты вектора x относитель-
но базиса e1 , e2 , ..., en . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Координатами |
точки |
А |
в |
|
данной |
системе |
ко- |
||||||||
ординат |
пространства Vn |
называются |
координаты радиус- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вектора точки OA относительно базиса. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Всякие два базиса пространства Vn |
e , e , ..., e |
и e , e , ..., e |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
1 |
2 |
n |
связаны между собой формулами перехода |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
a ji ej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
a ji ej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где вектор-столбцы матриц перехода |
A a |
и |
A a |
состо- |
||||||||||||
ят из координат векторов ei и ei |
|
|
ij |
|
|
ij |
|
|
||||||||
соответственно в базисах |
||||||||||||||||
e , ..., e и |
e , ..., e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
n |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
даны |
две |
системы |
координат |
|
O, |
e1 , ..., en |
и |
O , |
||||||
e1 , ..., en , то координаты любой точки |
A x1 , ..., xn |
и x1 , ..., xn |
относительно этих систем координат связаны соотношениями
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
xi aij xj xio , i |
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
||
где |
|
x |
, x |
, ..., x |
– координаты точки O в |
O, e , e , ..., e , a |
|||
|
1o |
2o |
no |
|
|
|
1 2 |
n ij |
– матрица перехода.
4.2. Прямая и плоскость в Vn
Определение. Пусть в аффинном пространстве Vn заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор
a .Множество
X L a
20