Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ли нейные пространства

.pdf
Скачиваний:
32
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
753.27 Кб
Скачать

 

 

1

 

 

2

 

 

2

 

 

2

e

 

0

, e

 

3

,

 

 

2

,

 

 

3

 

 

 

 

e

 

e

 

 

1

 

 

3

 

2

 

5

 

3

 

5

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Доказать

 

линейную независимость

системы функций

e 1x , ..., e n x , где

,

2

, ...,

n

– попарно различные действительные

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа.

8.Определить размерность линейного пространства квадратных матриц n-го порядка.

9.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

3. Подпространства линейного пространства

Определение. Всякое подмножество L линейного пространства X, заданного над полем K, которое, в свою очередь, является линейным пространством, называется линейным подпространством.

Для того, чтобы подмножество L линейного пространства X являлось линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1.x, y L x y L

2.x L и K L

При ме ры

1.Рассмотрим векторы пространства Rn, координаты кото-

рых удовлетворяют уравнению

x1 x2 ... xn 0 , x1 , x2 , ..., xn x

Покажем, что они образуют линейное подпространство в Rn. Пусть y y1 , y2 , ..., yn . Тогда

x y x1 y1 , x2 y2 , ..., xn yn

11

x x1 , x2 , ..., xn

и для координат векторов x y и x выполняются условия 1 и 2:

x1 y1 x2 y2 ... xn yn 0

x1 x2 xn 0

2. Рассмотрим подмножество симметричных матриц линейного пространства квадратных матриц n-го порядка. Покажем, что они образуют линейное подпространство. Пусть

A a

 

и

B b

симметричные матрицы. Матрицы

ij

 

 

 

ij

 

 

A B a b

и

A a

будут, очевидно, также симмет-

 

ij

ij

 

 

ij

 

ричными, и, следовательно, данное подмножество является линейным подпространством.

Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений:

Размерность всякого линейного подпространства L про-

странства X не превосходит размерности самого пространства.

Если в подпространстве L

dim L k

пространства X

dim X n задан

базис e1 , e2 , ... , ek ,

то его можно всегда до-

полнить векторами ek 1 , ... , en

из

X

так,

что

система

e1 , e2 , ... , en образует базис пространства X.

 

 

Координаты

x1 , x2 , ... , xn

всякого

вектора

x Lk k-

мерному подпространству n-мерного пространства X в любом базисе удовлетворяют некоторой системе линейных однородных уравнений

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0 a21 x2 a22 x2 ... a2 n xn 0

...

am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0

ранга n-k.

Определение. Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.

Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L(M), натяну-

12

той на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.

Определение. Суммой L двух подпространств L1 и L2 одного и того же пространства X называется множество векто-

ров вида z x y , где

x L1 и

y L2 .

Обозначается

L L1 L2 .

 

 

 

Сумма линейных подпространств

L L1 L2

сама является

линейным подпространством.

 

 

 

Определение. Пересечением L линейных подпространств L1 и L2 называется совокупность векторов, принадлежащих одновременно L1 и L2. Обозначается L L1 L2 .

Пересечение линейных подпространств L L1 L2 также

является линейным подпространством.

Определение. Прямой суммой L двух подпространств L1 и L2 называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора. Обозн а- чается L L1 L2 .

Размерности суммы и пересечения подпространств L1 и L2 связаны между собой следующим соотношением

dim L1 L2 dim L1 dim L2 dim L1 L2

При ме ры

1. Определим размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующие векторы, заданные своими координатами

 

1

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 0

,

a 1

,

a 1

,

a

2

,

a 1

1

0

 

2

1

 

3

1

 

4

 

3

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе. Воспользуемся тем, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг

13

1

2

1

1 0

1

0

0

0

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

2

1

 

0

1

2

1

 

0

1

0

 

0

1

1

3 2

 

0

1

3

2

 

0

1

1

 

1

0

1

4

 

 

 

2

5

 

 

1

2

 

 

3

1

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ранг

 

матрицы

 

равен

 

трем.

 

Следовательно,

dim L a1 , a2 , a3 , a4 , a5 3 . Базис образуют, например, следующие линейно независимые векторы a1 , a2 , a4 .

2. Найдем систему линейных уравнений, которая задает линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов, заданных своими координатами в некотором базисе e1 , e2 , e3 , e4

 

 

1

 

 

1

 

 

 

2

 

 

1

,

 

1

 

,

 

0

 

a

 

a

 

a

 

1

 

1

 

2

0

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

решения задачи

удобно

найти сначала

базис

в

L a1 , a2 , a3 .

Аналогично предыдущей задаче убеждаемся,

что

базис образуют векторы a1

и a2 , например. Некоторыми векто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рами b1

и b2

 

достроим базис a1 и a2

до базиса всего простран-

 

 

. В новом базисе любой вектор x

 

x , x , x , x

 

ства a , a ,

b

,

b

1

 

2 1

2

 

 

1

2 3

4

из L будет иметь координаты, удовлетворяющие системе уравнений

x 0

3

x 0

4

Остается перейти теперь к системе уравнений относительно старых координат x1 , x2 , x3 , x4 вектора x относительно базиса ei . Они будут связаны с новыми координатами формулами перехода

4

xi aij xj , i 1, 4 , j 1

14

где a

– матрица перехода от e , e , e , e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к базису a , a , b , b .

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

4

 

 

 

 

1

2

1

2

Подставляя координаты векторов a1 и a2 , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исключая x и

x , окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x3 x4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x3 x4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти размерности и базисы суммы и пересечения ли-

нейных подпространств L1

и L2, натянутых на векторы, заданные

своими координатами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L : a 2

, a

 

1 ,

a

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

,

 

 

 

 

2 ,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L :

b

 

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно убедиться, что векторы a1 ,

a2

– базис в L1, а век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торы

b1 ,

b2

– базис

 

в

L2. Поэтому

всякий вектор

из

L1

x 1a1

2 a2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1

 

 

2

 

 

 

 

а

всякий

вектор

из

L2

 

b1

b2 .

 

Если

z L1

L2 ,

то z x y . Таким образом, L L1 L2

это линейная

 

 

 

 

 

 

 

 

оболочка векторов

a1 , a2 , b1 , b2 . Аналогично первой задаче уста-

 

 

что dim L 3,

 

 

 

 

навливаем,

 

а базис, например, a1 , a2 , b1 .

Пусть

M L1 L2 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dim M dim L1

dim L2

dim L1

L2 1

 

 

 

 

 

 

 

Остается найти базисный вектор в М. Пусть

x M , тогда

x L1

и x L2 . Значит,

существуют такие числа 1 , 2

и 1 , 2 ,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

1a1 2 a2 1b1 2b2

Получаем для значений 1 , 2 и 1 , 2 , которые определяют

общие для L1 и L2 векторы, систему уравнений, которая в коор-

динатной форме имеет вид

1 2 2 1 2 0 2 1 2 3 1 2 2 01 2 1 2 2 0

Решая эту систему, получим 1 2 2 , 2 2 , 1 2 , где 2 - произвольно. Поэтому всякий вектор x из М имеет вид

3

x 2 2 a1 2 a2 2b1 2b2 5 21

3

Вектор x 5 можно принять за базис в M L1 L2 .

1

3.1. 3адачи

Доказать, что следующие системы векторов из Rn образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис:

1.Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координата равны между собой.

2.Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.

3.Все n-мерные векторы вида , , , , ..., , , где и

— любые числа.

4.Показать, что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса.

5.Показать, что решение системы линейных однородных

уравнений с n неизвестными ранга K образуют подпространство

Rn размерности n K .

6. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства Rn на единицу больше размерно-

16

сти их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.

7. Доказать, что пространство Rn

есть прямая сумма двух

линейных подпространств:

L1

заданного

уравнением

x1 x2 ... xn 0 и L2,

заданного

системой

уравнений

x1 x2 ... xn .

8. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов, заданных своими координатами

 

1

 

 

1

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

1

,

a2

 

1

,

a3

 

0

,

a4

 

5

,

a5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

5

 

 

 

0

 

0

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:

 

 

1

 

 

1

 

 

3

 

 

0

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

1

,

a2

0

,

a3

 

1

,

a4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

7

 

 

 

2

Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L1, натянутого на векторы a1 , a2 , ..., ak и L2, натяну-

того на векторы b1 , b2 , ..., bm

10.

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a

1

 

 

 

0

 

 

 

 

3

,

,

 

b

,

b

1

 

0

 

2

 

1

 

1

 

1

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

11.

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

a

,

a

 

,

a

 

,

b

 

,

b

 

,

b

1

1

 

2

 

1

 

3

 

1

 

1

 

0

 

2

 

1

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов a1 , ..., ak и b1 , ..., bm

12.

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

,

a

3

,

a

2

,

 

1

,

 

 

 

 

 

0

,

 

 

3

b

 

 

 

b

b

1

 

1

 

2

 

1

 

3

 

2

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

,

a 1

,

a 0 ,

 

 

0 ,

 

 

 

 

2 ,

 

 

 

2

 

 

b

 

 

b

b

 

1

0

 

2

1

 

3

 

1

1

 

 

1

 

2

 

 

 

1

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства Rn, координаты которых x1 , ...x2 , ..., xn

удовлетворяют системе линейных уравнений

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2

...

am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm

Показать, что если к каждому вектору x подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор, то получится линейное многообразие.

18

4. Точечно-векторное аффинное пространство

Определение. Пусть некоторое множество Vn состоит из

элементов двух типов, которые будем называть «точками» и «векторами». Пусть при этом множество векторов образует n- мерное линейное пространство, а множество точек не пусто.

Множество Vn называется точечно-векторным аффинным пространством, если:

1.Каждая пара точек А1 и A2, заданных в определенном порядке, определяет единственный вектор x A1 A2 .

2.Для каждой точки А1, и каждого вектора x существует единственная точка A2, такая, что A1 A2 x .

3.Если x1 A1 A2 и x2 A2 A3 , то x1 x2 A1 A3 .

Пространство Vn называется n-мерным, если n-мерно соот-

ветствующее линейное пространство.

При ме р . Данному определению удовлетворяет, очевидно, обычное геометрическое пространство, в котором векторы вводятся как упорядоченные пары точек. Вторая аксиома соответствует возможности отложить любой вектор из произвольной точки, а третья аксиома соответствует определению сложения векторов.

4.1. Система координат в пространстве Vn

Если в пространстве Vn зафиксировать некоторую точку O, то в силу свойств 1 и 2 между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Вектор OA называется радиус-вектором точки А относительно точки O.

Определение. Системой координат в пространстве Vn, называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса e1 , e2 , ..., en в Vn.

19

Координатами вектора x в заданной системе координат пространства Vn называются координаты вектора x относитель-

но базиса e1 , e2 , ..., en .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координатами

точки

А

в

 

данной

системе

ко-

ординат

пространства Vn

называются

координаты радиус-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора точки OA относительно базиса.

 

 

 

 

 

 

 

 

Всякие два базиса пространства Vn

e , e , ..., e

и e , e , ..., e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

n

1

2

n

связаны между собой формулами перехода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

a ji ej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

a ji ej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где вектор-столбцы матриц перехода

A a

и

A a

состо-

ят из координат векторов ei и ei

 

 

ij

 

 

ij

 

 

соответственно в базисах

e , ..., e и

e , ..., e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

даны

две

системы

координат

 

O,

e1 , ..., en

и

O ,

e1 , ..., en , то координаты любой точки

A x1 , ..., xn

и x1 , ..., xn

относительно этих систем координат связаны соотношениями

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

xi aij xj xio , i

1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

где

 

x

, x

, ..., x

– координаты точки O в

O, e , e , ..., e , a

 

1o

2o

no

 

 

 

1 2

n ij

– матрица перехода.

4.2. Прямая и плоскость в Vn

Определение. Пусть в аффинном пространстве Vn заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор

a .Множество

X L a

20