Министерство образования и науки РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮ

Декан ФПМК

________ А. М. Горцев

20 октября 2004 г.

Линейные пространства

Учебно-методическое пособие

Томск

2004

РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.

ПРОТОКОЛ № 20 от 14 июня 2004 г.

Председатель комиссии

профессор С.Э.Воробейчиков

В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.

Составители: К.И.Лившиц

Л.Ю.Сухотина

1. Линейные пространства. Определение

Определение. Множество X называется линейным пространством над полем K, если:

1. Существует закон, который позволяет каждым двум элементам , поставить в соответствие элемент , называемый суммой и обозначаемый

2. Существует закон, который позволяет каждому элементу и каждому числу поставить в соответствие элемент , называемый «произведением элемента на число » и обозначаемый

3. Законы, введенные в X, удовлетворяют следующим аксиомам:

1. ,

2. ,

3.

4. :

5.

6.

7.

8. , где 1 — единица поля K.

Элементы пространства X обычно называют векторами, элемент — нулевым вектором, элемент — противоположным (обратным) к вектору .

Из определения непосредственно вытекают следующие элементарные свойства линейного пространства:

1. В любом линейном пространстве существует единственный .

2. В любом линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

3. Для всякого вектора

4. Для всякого вектора

Примеры:

1. Рассмотрим множество квадратных матриц n-го порядка с вещественными элементами. Поле K — поле вещественных чисел. Законы сложения элементов и умножения на число определены в матричном анализе. Из свойств сложения матриц и умножения матрицы на число следует выполнение аксиом 1—8. В частности, является нулевая матрица n-го порядка. Следовательно, данное множество есть линейное пространство.

2. Линейным пространством является также множество V₃ геометрических векторов, операции над которыми были определены в векторном анализе. Поле K – поле вещественных чисел. Сами проверьте, что аксиомы 1—8 выполняются.

3. Рассмотрим множество P_n, элементами которого являются упорядоченные наборы из n вещественных чисел.

Поле K — поле вещественных чисел. Сложение и умножение на число определяется следующим образом. Если , то , если

Сами проверьте выполнение аксиом 1—8. Нулевой вектор в данном случае это упорядоченный набор n нулей . Данное пространство называется арифметическим пространством.

1.1. Задачи

Проверить образуют ли следующие множества линейные пространства. Операции сложение элементов и умножение на число определены общепринятым образом. Поле K — поле вещественных чисел.

1. Множество n-мерных симметричных матриц с вещественными элементами.

2. Множество n-мерных кососимметричных матриц с вещественными элементами.

3. Все векторы плоскости, концы которых лежат на данной прямой, а начало совпадает с началом системы координат.

4. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

5. Все многочлены степени от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.

6. Все многочлены степени n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.