- •Линейные пространства
- •1. Линейные пространства. Определение
- •4. Для всякого вектора
- •1.1. Задачи
- •2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.
- •Примеры
- •Примеры
- •2.1. Задачи
- •3. Подпространства линейного пространства
- •Примеры
- •3.1. 3Адачи
- •4. Точечно-векторное аффинное пространство
- •4.1. Система координат в пространстве
- •4.2. Прямая и плоскость в Vn
- •4.3. Задачи
- •5. Евклидовы и унитарные пространства
- •5.1. Ортонормированный базис евклидова и унитарного пространств
- •5.2. Ортогональное дополнение
- •5.3. Проектирование вектора на подпространства
- •5.4. Задачи
- •Литература
- •Содержание
4.2. Прямая и плоскость в Vn
Определение. Пусть в аффинном пространстве Vn заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор .Множество
называется плоскостью в Vn. Размерностью плоскости X называется размерность соответствующего подпространства .
Одномерная плоскость пространства Vn называется прямой линией.
Плоскость размерности называется гиперплоскостью.
Две плоскости называются совпадающими, если они состоят из одних и тех же точек (векторов) пространства; в противном случае они называются несовпадающими.
Множество точек n-мерного пространства, принадлежащих как плоскости X1, так и плоскости X2, называется их пересечением, а сами плоскости X1 и X2 пересекающимися, если .
Две несовпадающие плоскости и , полученные сдвигом одного и того же подпространства L, называются параллельными.
Из определения плоскости следует, что всякая плоскость является линейным многообразием.
Всякая k-мерная плоскость может быть задана либо параметрическим уравнением
,
где — базис в L, — произвольные числа, либо как линейное многообразие системой линейных неоднородных уравнений
ранга n-k, где — координаты вектора .
В частности, всякая прямая задается либо системой линейных уравнений ранга , либо параметрическим уравнением
где — направляющий вектор прямой, λ — параметр. Если и — радиус-векторы двух точек прямой, то можно записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки
,
Наконец, в координатной форме можно записать каноническое уравнение прямой
,
где — координаты точки , — координаты некоторой фиксированной точки прямой; -координаты направляющего вектора прямой.
Всякая гиперплоскость задается одним линейным уравнением
Примеры
1. Необходимо найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые и пространства лежали в одной двумерной плоскости.
П редположим вначале, что две данные прямые лежат в одной плоскости с уравнением
где λ1, λ2 — параметры. Тогда при некоторых , , ,
а при некоторых , , .
Поэтому вектор принадлежит линейной оболочке векторов и . Далее для произвольной точки 1 прямой найдутся такие λ1 и λ2, что
Значит и . Аналогично . Но всякие три вектора из двумерного подпространства линейно зависимы. Следовательно, необходимым условием принадлежности прямых плоскости является линейная зависимость векторов . Обратно, пусть линейно зависимы. Тогда существуют такие λ1 и λ2, что . Поэтому уравнение второй прямой можно переписать в виде
Очевидно, что теперь оба уравнения содержатся в уравнении плоскости H:
где t и τ параметры, и, следовательно, прямые принадлежат плоскости H.
2. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы две прямые и проходили через одну точку, но не совпадали.
Предположим, что при некоторых значениях параметров для первой прямой и для второй прямые пересекаются. Тогда
Отсюда следует, что векторы линейно зависимы. Данное соотношение далее можно при известных рассматривать как систему линейных уравнений (в координатной форме) на определение t1 и t2. Так как прямые не совпадают, то решение системы
(4.1)
единственно. Значит ранг матрицы системы равен 2 и векторы должны быть линейно независимы. Обратно пусть – линейно независимы, векторы – линейно зависимы. Тогда система (4.1) имеет и причем единственное решение. Следовательно, прямые пересекаются в единственной точке.