- •Линейные пространства
- •1. Линейные пространства. Определение
- •4. Для всякого вектора
- •1.1. Задачи
- •2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.
- •Примеры
- •Примеры
- •2.1. Задачи
- •3. Подпространства линейного пространства
- •Примеры
- •3.1. 3Адачи
- •4. Точечно-векторное аффинное пространство
- •4.1. Система координат в пространстве
- •4.2. Прямая и плоскость в Vn
- •4.3. Задачи
- •5. Евклидовы и унитарные пространства
- •5.1. Ортонормированный базис евклидова и унитарного пространств
- •5.2. Ортогональное дополнение
- •5.3. Проектирование вектора на подпространства
- •5.4. Задачи
- •Литература
- •Содержание
5.4. Задачи
1. Показать, что в пространстве Rn скалярное произведение векторов и может быть определено выражением
где .
2. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:
а)
, ,
б)
, , ,
3. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов до ортонормированного базиса , .
4. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:
, ,
5. Линейное подпространство L задано уравнениями
Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение .
6. Показать, что задание линейного подпространства L пространства En и его ортогонального дополнения в ортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства.
7. Доказать, что
Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L.
8. , а L натянуто на векторы
; ,
9. , а L задано системой уравнений
10. Найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданного системой уравнений
11. Найти расстояние между двумя плоскостями и , где
, , ,
, ,
Литература
1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974. — 400 с.
2. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.
3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: «Наука», 1970. — 355 с.
Содержание
1. Линейные пространства. Определение 3
1.1. Задачи 4
2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора 5
2.1. Задачи 10
3. Подпространства линейного пространства 11
3.1. Задачи 16
4. Точечно-векторное аффинное пространство 19
4.1.Система координат в пространстве 19
4.2. Прямая и плоскость в 20
4.3. Задачи 23
5. Евклидовы и унитарные пространства 25
5.1.Ортонормированный базис евклидова и унитарного
пространств 27
5.2.Ортогональное дополнение 30
5.3. Проектирование вектора на подпространства 31
5.4. Задачи 35
Литература 37