2.6. Отношения

Декартовым (прямым) произведением множеств (например, S₁, S₂, ..., S_n) называется множество (обозначим его R) кортежей, в каждом из которых на первом месте располагается элемент из первого множества, на втором – элемент  из второго множества и т.д., на последнем – элемент последнего множества:

R = {<x₁, ..., x_n> | x ₁S₁, ... x_nS_n}.

Для краткости записи можно использовать следующую форму:

Здесь знак × не имеет смысла арифметической операции умножения, а используется лишь для краткости записи декартова произведения.

R = S₁ × S₂ × ... × S_n.

Отношение между множествами – это подмножество прямого (декартова) произведения этих множеств, то есть множество кортежей, например <x₁, ..., x_n>, удовлетворяющих некоторому критерию. Отношение выражает соответствие (взаимосвязь) между элементами двух или более множеств. Бинарное отношение выражает соответствие между элементами двух множеств, тернарное – между элементами трех множеств и т.д. В общем случае отношение (например, Q) может быть n-арным, то есть представлять собой подмножество декартова произведения n множеств S₁ × S₂ × ... × S_n, то есть

Например, если имеются множества

A = {1,3,5}, B = {2,3}и C = {4,5},

то их декартово произведение является следующим множеством:

R = A × B × C = {<1,2,4>, <3,2,4>,<5,2,4>,<1,3,4>,<3,3,4>,<5,3,4>,<1,2,5>,<3,2,5>,

 <5,2,5>,<1,3,5>,<3,3,5>,<5,3,5>}

Тогда отношением Q, выражающим связь “a + b = c (a  A, b  B, c  C)“, является множество

Q = {<1,3,4>,<3,2,5>}.

Q S₁ × S₂ × ... × S_n.

Как и любое множество, отношение может быть задано как экстенсионально, так и интенсионально. Понятие “отношение” является одним из основных, используемых в моделировании информации. В моделировании данных термин “отношение” применяется к определению экстенсионала типа. При этом отношениями представляются экстенсионалы как типов объектов, так и типов связей объектов.

2.7. Табличное представление данных

Табличные формы – это простейший способ представления данных. Они характерны для большинства моделей данных. В таких моделях экстенционалы типов объектов и типов связей описываются в виде таблиц, каждая из которых представляет какой-либо тип. В строках таблицы содержатся экземпляры данного типа, а в столбцах – экстенсионалы атрибутов. Таблицам присваивают имена тех типов, которых они представляют, а столбцам – имена соответствующих атрибутов. В моделировании данных, как правило, используют так называемые реляционные таблицы.

Такая таблица представляет собой отношение, то есть множество кортежей, каждый из которых является экземпляром соответствующего типа объекта или типа связи. Порядок расположения кортежей в такой таблице не имеет значения, и их дублирование не допускается. Поэтому реляционные таблицы часто называют отношениями.

Для типов объектов – в строках таблиц располагаются кортежи значений атрибутов, являющиеся описаниями конкретных объектов.

Например, пусть имеются два типа объектов СЛУЖАЩИЙ(Номер, Имя, Адрес, Пол) и КОМПАНИЯ(Название, Дислокация). Тогда соответствующие отношения имеют следующий вид:

Здесь атрибут Номер может быть определен, например, на домене целых трехзначных чисел, атрибуты Имя, Адрес, Название и Дислокация – на общем домене текстовых строк не более 20 знаков, а атрибут Пол – на домене двух трехсимвольных строк {муж, жен}.

Типы связей также могут быть представлены реляционными таблицами. Если в типах объектов есть ключи, то тип связи может быть составлен из них. Тогда экземплярами соответствующей реляционной таблицы будут являться пары значений ключевых атрибутов, показывающие, какие экземпляры разных типов объектов связаны. Если в типах объектов нет ключей, то тип связи описывается всеми атрибутами связанных типов объектов. Тогда экстенсионал такого типа связи будет подмножеством декартова произведения экстенсионалов типов объектов, участвующих в связи.