2.13.Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.

Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)

Властивості:

0≤ F(x,y)≤1;

F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1;

Мають місце граничні співвідношення: F(-∞ ,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1;

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)

2.14.Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.

2-хвимірною щільністю ймовірностей f(х,у) двв (Х,У) називаєть другу мішану частинну похідну від інтегральної ф-ції розподілу:

Якщо відома щільність імовірностей f(х,у) двв, то її ф-цію розподілу знаходять за ф-лою:

Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять:

P((X,Y,)єD)=

Властивості: 1) f(х,у)≥0, вона не від’ємна; 2)

2.15.Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.

Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять: P((X,Y,)єD)=∫∫df(х,у)dxdy

Р- ймовірність влучення точки;

f(х,у)- щільність розподілу

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

х,у – координати точки в просторі

F(х,у)-ф-ція розподілу.

2.16. Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.

Дві випадкові величини наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які ймовірні значення прийняла інша величина. Отже, умовні розподіли незалажних величин дорівнюють їхнім умовним розподілам.

Теорема: для того щоб випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових :

Необхідно: F (x, y) = F1(x) F2(y).

Достотньо : нехай F(x, y) = F1(x) F2(y). Звідси P(X<x, Y<y) = P(X < x) P (Y<y).

Звідси для того щоб неперервні випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність спільного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових : f (x,y) = f1(x)f2 (y). Достатньо F (x, y) = F1(x) F2(y).

2.18. Ф-ли для знаходження ф-ції розподілу та щільності ймовірностей складних с-м ВВ.

Функцією розподілу ймовірностей С.В.В. наз. така функція двох змінних F (x, y) , що її значення в кожній в.в. точці дорівнює F (x, y) = P(X<x; Y<y)

Функція щільності розподілу наз. другу змішану похідну від функцію розподілу:

f (x, y) =2 F (x, y)/ xy.

2.19. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу

для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.

а) Мат., сподівання:1) д.в.в. M[X] = m_x=∑x_ip_i; 2)н.в.в. M[X]=;

б) Дисперсія :1)д.в.в. D[X]=(x_i-m_x)²P_i; 2) н.в.в.D[X]=

в) початкового та центрального моментів: 1) початковим моментом порядка k випадкової величини X наз математичним сподівання величини X^k: У часному випадку початковий момент першого порядку = мат.,сподіванню . 2) Центральним моментом порядка k випадкової величини Х наз., мат., сподівання величини [X-M(X)]^k:

г) Асиметрія m₃ - центральний епмпіричний момент третього порядка. Використовується для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального .

д) Ексцесс m₄- центральний емпіричний момент четвертого порядку.

е) Мода-М₀ наз., варіанту ,яка має найбільшу частоту

ж) Медіаной М_е- наз., варіанту ,яка ділить варіаційний ряд на дві частини , рівні по числу варіант .