2.5. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.

Математичне сподівання в.в. Х характеризує середнє значення Х із врахуванням ймовірностей його можливих значень. В практичній діяльності під математичним сподівання розуміють центр розподілу в.в.

Дисперсія характеризує розсіювання можливих значень Х відносно центру розподілу в.в.

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини характеризує величину розсіювання в.в. в розмірності цієї величини.

Асиметрія характеризує симетричний чи асиметричний розподіл та правосторонній чи лівосторонній.

Ексцес характеризує плосковерхість чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії .

При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0).

Медіана (Ме)— це середина відрізку між математичним сподіванням та модою.

2.6. Довести основні властивості математичного сподівання і дисперсії.

Основні властивості математичного сподівання

Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній М(С) = С.

Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ)=С*М(Х).

Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто М(Х1*Х2*…*Хn) = М(Х1)*М(Х2)*…*М(Хn).

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М(Х1+Х2+…+Хn ) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn)

Основні властивості дисперсії.

1)Дисперсія будь-якої ДВВ Х невід’ємна

Дійсно, (Х – М(Х))2 невід’ємна, тому згідно означення математичного сподівання та властивостей pk , k =1,2, … , n , D(X) також невід’ємна.

2)Дисперсія постійної величини С дорівнює нулеві

D(X) = 0

Дійсно, якщо Х=С, то М(С)= С, тому С – М(С) = 0

3)Постійний множник С можна виносити за знак дисперсії, при цьому постійний множник треба піднести у квадрат

D(СX) = С2 D(X).

Дійсно, СХ – М(СХ) = С (Х – М(Х)), тому

(СХ – М(СХ))2 = С2 (Х – М(Х))2.

Постійний множник С2 можна виносити за знак математичного сподівання, тому з формули D(X) = М((Х – М(Х))2) випливає потрібна рівність D(СX) = С2 D(X).

4) Дисперсія ДВВ Х дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини Х та квадрата її математичного сподівання

D(X) = М(Х2) – (М(Х))2.

Дійсно, D(X) = М((Х – М(Х))2) = М(Х2 – 2ХМ(Х) + М2(Х)) = М(Х2) – 2М2(Х) + М2(Х) = М(Х2) - М2(Х).

5) дисперсія алгебраїчної суми ДВВ Х та Y дорівнює сумі їх дисперсій .

2.7.Записати основні закони розподілу д.в.в.: а) біноміальний ; б)Пуассона; в)геометричний; г) гіпергеометричний. Пояснити зміст букв. Навести приклади д.в.в., розподілених за цими законами.

1. Біноміальний

2.Пуассона

3.Геометричний

.

4. Гіпергеометричний

2.8.Записати основні закони розподілу н.В.В.: а) рівномірний; б) нормальний; в) показниковий. Пояснити зміст букв. Навести приклади н.В.В., розподілених за цими законами.

1.Рівномірний.Величина Х розподілена рівномірно у проміжку (a,b), якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її імовірностей у цьому проміжку постійна, тобто

При х(a,b),

При х(a,b).

Величина визначається умовою нормування Р(а< X<b) = C(a - b) = 1

Імовірність влучення Х в інтервал (х1, х2) дорівнює відношенню довжини цього інтервалу до довжини усього проміжку (a,b).

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків. С=const

2. Нормальний. Випадкову величину Х називають розподіленою нормально, якщо щільність її імовірностей має вигляд

, де а та σ – параметри розподілу.

3. Показниковий. Випадкову величину Х називають розподіленою за показниковим законом, якщо щільність її імовірностей має вигляд

при х0;

при х<0, де λ>0 – параметр.

Показниковому розподілу задовольняють : час телефонної розмови, чс ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп’ютера. Якщо НВВ Х розподілена за показниковим законом, то вона має математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення рівні.