- •1.1.Що є предметом теорії імовірності?
- •1.2.Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої. Навести приклад.
- •1.3.Суми, різниці та добутку множин. Навести приклади.
- •1.4.Дати означення сполучення та розміщення із n елементів по k, переставлення із n елементів. Записати позначення. Навести приклади
- •1.5. Записати формулу, що пов’язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила суми та добутку, що вик при розв’язуванні комбінаторних задач. Навести приклади.
- •1.7. Дати означення сумісних, несумісних та попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •1.8. Дати означення суми (об’єднання), різниці та добутку (перетину) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.
- •1.9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної події? Навести приклади.
- •1.10. Дати означення поняття імовірності випадкової події. Сформулювати класичне визначення імовірності події і записати відповідну формулу. Навести приклади.
- •1.11.(Геометричне визначення).
- •1.12. Дати означення частоти та відносної частоти події.
- •1.13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) про імовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •1.14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.
- •1.15. Записати формулу для обчислення імовірності хочаб однієї з декількох подій, незалежних у сукуупності.Пояснити букви, навести приклади.
- •1.16. Записати формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
- •1.17. Навести умови схеми випробувань Бернулі. Записати формулу Бернулі.Навести приклади застосування.
- •1.18. Граничні теореми у схемі випробувань Бернулі. А)Пуассона. Б) Локальну та інтегральну Лапласа.
- •1.19.Записати формули для обчислення в схемі бернулі: а)імовірності відхилення частоти від імовірності б)найбільш імовірного числа появи подій
- •2.1. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкої величини (н.В.В.). Навести приклади.
- •2.2. Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.В.В. Навести приклади.
- •2.3. Дати означення а) інтегральної; б) диференціальної функції розподілу н.В.В. Вказати їх основні властивості. Навести приклади.
- •2.5. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.
- •2.6. Довести основні властивості математичного сподівання і дисперсії.
- •2.8.Записати основні закони розподілу н.В.В.: а) рівномірний; б) нормальний; в) показниковий. Пояснити зміст букв. Навести приклади н.В.В., розподілених за цими законами.
- •2.9.Що в теорії ймовірностей розуміють під терміном «Закон великих чисел»? Записати нерівність а. Чебишова. Пояснити зміст букв.
- •2.10.Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а) Бернуллі; б) Чебишова; в) Центральну граничну теорему. Пояснити зміст букв.
- •2.12.Дати означення системі випадкових величин. Навести приклади. Дати означення закону розподілу дискретної двовимірної випадкової величини. Навести приклади.
- •2.13.Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.
- •2.14.Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.
- •2.15.Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.
- •2.16. Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.
- •2.20. Навести основні властивості кореляційного моменту μxy та коефіцієнту кореляції rxy
- •2.21. Дати означення корельованості (некорельованості) двох в.В. Пояснити різнцю і зв’язок між корельованістю (некорельованістю) і залежністю двох в.В.
- •2.22. Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на y). Пояснити зміст позначень.Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.
- •2.23. Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.В.
- •2.26. Вказати вв що мають розподіл: Персона х2, Стьюдента, Фішера
- •3.1. Предмет мс є розробка методів, збору і обробки інформації, аналізу результатів обробки з метою одержання науково-обгрунтованих висновків і вироблення практичних рекомендацій.
- •3.2.Озн генеральної та вибіркової сукупності, об’єму вибірки, повторної і без повторної, репрезентативної вибірки
- •3.3.Озн статистичної (емпіричної) ф-ї розподілу, різниця між емпіричною і теоретичною ф-єю. Побудова графіків
- •3.4. Кумулятивної частоти та частостей.
- •3.5.Означення полігону, гістограми, кумулятивної частоти та частостей.
- •3.6.Означення статистичної оцінки параметра розподілу ген сукупності, незаміщеної еф обгр оцінки.
- •3.7.Означення генеральної та вибіркової середньої, довести...
- •3.8.Означення генеральних та вибіркових дисперсій та середнього квадр відхилення, формули
- •3.9.Дати озн вибіркових: Моди, медіани , початкового моменту, центрального моменту, асиметрії, ексцесу.
- •3.10.Означення точкової та інтегральної оцінки параметра, точність, надійність, інтервальна оцінка, надійний інтеграл
- •3.11.Вивести формули обч кінців надійного інтервалу для оцінки мат сподівання нормального розподілу: з відомим значенням а та з невідомим значенням а. Сформ взаємозалежності.
- •3.13.Записати формули для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу. Пояснити зміст позначень.
- •3.14.Дати означення емпіричної та теоретичної частот, формули для обч теоретичних частот розподілів : Пуассона, нормальної та генеральної сукупності
- •3.15.Дати озн функціональної, статистичної, кореляційної залежності, умовного середнього, вибіркових рівняння та лінії регресії.
- •3.16.Вивести формули для обч параметрів вибіркового рівн лінійної регресії : а) за не згрупованими даними, б) за згрупованими
- •3.17.Записати формулу для обч вибіркової кореляції кінців надійного інтервалу для інтерн. Оцінки коеф кореляції нормально розподіленої ген сукупності
- •3.18.Дати озн статист гіпотези, назв осн види, означ нульової, альтернативної гіпотез, помилки 1 і 2 роду
- •3.19.Означення статистичного критерію, спостереженого та теор значенню критерію, Крит обл., обл. Прийняття гіпотези, критичних точок, однобічної та двобічної Крит обл., лівоб та правоб крит обл
- •3.20.Дати озн рівня значущості, потужності критерії. Способи знах одноб та двоб критичної обл.
1.1.Що є предметом теорії імовірності?
Предметом теорії імовірності є вивчення імовірних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
1.2.Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої. Навести приклад.
Підмножина – частина множини. Множина наз. скінченна ( нескінченна) якщо вона містить скінченне (нескінченне) число елементів. Нескінченна множина наз. зліченою (незліченою) якщо її елементи можна (не можна) пронумерувати.
Приклад: А={1,2,3,5,8}- скінченна
B={2,9,6,8,....}-нескінченна
1.3.Суми, різниці та добутку множин. Навести приклади.
Сумою (об’єднанням, А ﮞ В= А+В) 2-х множин А і В наз. така множина С, елементи якої є всі елементи множини А і В.
Різницею А і В наз. С, яка складається з тих елементів множини А, які не входять в множину В.
Добутком (перетин А∩В=А*В) 2-х множин А і В наз. така множина С, елементи якої є елементами множини А і В.
Пр. А={1,2,4,8}, B={1,2,6,8,9,10}
А ﮞ В={1,2,8}, А∩В={1,2,4,6,8,9,10}, A-B={4}
1.4.Дати означення сполучення та розміщення із n елементів по k, переставлення із n елементів. Записати позначення. Навести приклади
Перестановками (Pn) наз. будь-яка впорядкована множина, яка скл. з N елементів. Pn=n!
Розміщення (Аnk)- будь-яка впорядкована півмножина з n елементів даної множини, яка містить k елементів, k ≤n. Розміщення відрізняється або складом елементів або їх порядком. Аnk= n!/(n-k)!
Сполучення (Сnk)- будь-яка півмножина з n елементів даної множини, яка містить k елементів. Одне сполучення відрізняється одне від одного лише складом елементів. Сnk= n!/(n-k)!k!
P3=3!=1*2*3=6, A42=4!/2!=3*4=12, C42=4!/2!2!=3*4/2=6
1.5. Записати формулу, що пов’язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила суми та добутку, що вик при розв’язуванні комбінаторних задач. Навести приклади.
Числа перестановок, сполучень та розміщень пов’язані нерівністю: Аnk= Pk Сnk
Нехай множина А містить ел. Аі, де і змінюється від 1 до n; множина В , вj (j=1до k)
Правило сум: якщо множини А і В не перетинаються, тобто А∩В=0, то множина, яка є об’єднанням цих множин АﮞВ містить n+k елементів.
Правило добутку: множина С усіх можливих пар (аі, вj) містить n*k елементів.
1.6. Дати означення випадкового експерименту, випадкової події, неможливої та достовірної подій. Навести приклади. Дати означення елементарного наслідку випадкового експерименту, простору елементарних наслідків.
Експериментом або випробуванням наз. реалізація певної сукупності умов в результаті якої настає або відбувається певний наслідок або подія. Експеримент наз. детермінованим, якщо в результаті його проведення завжди настає або не настає певна подія, яка також наз. детермінованою. При цьому якщо детермінована подія настає або не настає вона наз. достовірною і позначається літерою U або неможливою (V). Події наз. рівно можливими якщо немає підстав вважати, що поява однієї з них є більш можливим за появу другої (напр. поява того чи іншого числа очків на гральних костях – рівно можливі події). Експеримент наз. випадковим, якщо в результаті його проведення деяка подія може настати, а може і не настати. При цьому допускається, що цей експеримент може (не може) бути повторений скільки завгодно раз. Подія, що настає в результаті невизначеного (випадкового) експерименту наз. випадковою.