3.4.Списковая форма записи графа

Большое число нулей в матрице смежности и инциденций свидетельствует о неэкономичности этих форм представления графов, что особенно существенно, если графы содержат много вершин. Поэтому помимо матриц используются списковые формы записи графов. Список представляет собой множество

R = [R(i)], где

R(i) R – есть множество вершин графа, в которые можно непосредственно попасть из i-ой вершины.

Например, в графе структуры менеджмента качества, показанной на рис.3.2 можно представить следующим списком.

R_3.1 = [R(О)={Р}, R(Р)={Ц}, R(Ц)={И,У}, R(И)={О}, R(У)={П},

R(П)={Т}, R(Т)={Ц}]

(3.7)

Эту запись можно упростить, если элементы множеств R(i) записать в круглых скобках, перед которыми поставить номер (обозначение) i:

R = [О(Р), Р(Ц), Ц(И,У), И(О), У(П), П(Т), Т(Ц)]

(3.8)

Лекция 4 Анализ структуры системы

Описание структуры системы в виде графа дает возможность провести анализ структуры системы и оценить ее качество. Рассмотрим следующие основные задачи анализа структур.

1.Анализ элементов

При исследовании структуры особое значение имеет выделение элементов, соответствующих изолированным, висячим и тупиковым вершинам графа. Изолированные вершины не инцидентны ни одному из ребер графа; висячие соответствуют вершинам, в которые нельзя попасть ни из одной другой вершины графа; тупиковые соответствуют вершинам, из которых нельзя попасть в другие вершины графа. В качестве примера рассмотрим граф на рис.4.1.

Рис.4.1 Фрагмент структуры системы

Граф на рис.4.1 содержит изолированную вершину 12, висячие вершины 1, 2, 3 и ни одной тупиковой вершины. Если соединить вершину 12 с вершинами 11 и 8, то она превратиться в тупиковую. Изолированные, висячие и тупиковые вершины на графе отыскиваются следующим образом:

Берется матрица смежности графа V = ||v_ij||;

По этой матрице для каждой вершины k (k = 1, 2, … , n), где n – число вершин в графе, определяется вектор v(k) = (v_k, v^k) с компонентами

v_k = , v^k =, где

v_k – сумма элементов k-ой строки матрицы V, определяющее число ребер, выходящих из вершины k,

v^k – сумма элементов k-го столбца матрицы V, определяющее число ребер, входящих в вершину k.

v_k = v^k = 0, то вершина k изолированная;

Если v_k = 0, то вершина k тупиковая;

v^k = 0, то вершина k висячая.

Что дает анализ элементов?

1. Наличие в графе изолированных вершин обычно свидетельствует об ошибках, допущенных при формировании или описании структуры, ведь система всегда целостный объект, все элементы которого взаимосвязаны;

2. Висячие вершины должны соответствовать входным элементам системы (вход системы);

3. Тупиковые вершины должны соответствовать выходным элементам системы (выход системы);

4. Через висячие и тупиковые вершины осуществляется процесс взаимодействия системы с внешней средой, поэтому очень важно, чтобы путем исследования графа они были правильно интерпретированы.