- •1.Системные исследования
- •2.Системный подход
- •3.Системный анализ
- •4.Системные исследования в менеджменте качества
- •Лекция 2 Определение системы
- •1.Определение понятия «система»
- •2.Основные понятия, входящие в определение системы
- •3.Классификация системы
- •4.Понятие о системе качества
- •1.Понятие о структуре
- •2.Структурные схемы
- •3.Графы структуры
- •3.3Матричная форма записи графа
- •3.4.Списковая форма записи графа
- •Лекция 4 Анализ структуры системы
- •1.Анализ элементов
- •2.Анализ связи
- •3.Диаметр структуры
- •4.Связность
- •5.Степень централизации
- •6.Сложность
- •7.Структурный анализ систем менеджмента качества
- •1.Определение информационного анализа
- •2.Графическая схема (модель) процесса
- •3.Построение информационной модели процесса
- •1.Определение функций системы
- •2.Классификация функций системы
- •3.Описание функций
- •4.Функциональная модель системы
- •Лекция 7 Методология функционального анализа систем sadt (idef)
- •1.Истоки методологии sadt
- •2.Sadt-модель системы
- •3.Декомпозиция sadt-модели
- •4.Основные правила построения sadt-диаграммы
- •Тема 5
- •Лекция 8 Анализ иерархии системы
- •1.Понятие об иерархическом анализе
- •2.Метод анализа иерархии т. Саати
- •3.Построение иерархии
- •1.Понятие о матрицах парных сравнений
- •2.Шкала отношений
- •3.Правила заполнения матрицы парных сравнений
- •1.Понятие о векторе приоритетов
- •2.Методы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений
- •3.Оценка согласованности (однородности) суждений экспертов
- •4. Определение результирующего вектора приоритета.
- •Тема 6
- •Лекция 11 Основные направления математического анализа систем
- •1. Понятие о математическом анализе систем
- •2. Логический анализ систем
- •3. Физическая интерпретация формальных систем
- •4. Пример интерпретации формальной системы
- •Лекция 12 Математическое моделирование систем
- •1. Классификация моделей
- •2. Характеристики основных классов моделей систем
- •3. Оптимизация решений, принимаемых при проектировании и эксплуатации систем
- •Тема 7 Математические методы принятия оптимальных решений
- •1. Процесс принятия решений человеком
- •2. Общая схема принятия решений
- •3. Задача принятия решений
- •4. Формальная модель принятия решений
- •1. Классификация задач принятия решений
- •2. Принятие решений в условиях определенности
- •3. Виды неопределенности задачи принятия решений
- •1. Понятие о морфологическом анализе и синтезе систем
- •2. Морфологические таблицы
- •3. Обобщенный алгоритм комбинаторно-морфологического метода оптимизации решения
- •4. Математическая модель решения задачи оптимизации решений комбинаторно-морфологическим методом
- •Лекция 16 Задача линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •4. Альтернативный оптимум
- •Лекция 18 Нелинейное программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
- •3. Методы условной и безусловной оптимизации
- •4. Классический метод определения условного экстремума
- •5. Метод множителей Лагранжа
- •Лекция 19 Поисковые методы оптимизации
- •1. Непосредственные градиентные методы
- •2. Поиск по способу «оврагов»
- •3. Метод зигзагообразного поиска
- •4. Метод функций штрафа
- •5. Метод случайного поиска
Лекция 19 Поисковые методы оптимизации
Для решения большинства задач нелинейного программирования, заданных в общей форме (см. лекцию 18), используются поисковые методы оптимизации. Эти методы позволяют, отправляясь от некоторого начального значения и двигаясь в направлении градиента целевой функции, получить последовательно значения, которые находятся все ближе к искомой точке экстремума (максимума или минимума).
1. Непосредственные градиентные методы
Математически, градиент целевой функции Q в точке
выражается в виде формулы ,
(19.1)
где ei – орты осей переменных xi.
При сложных моделях частные производные в (19.1) не могут быть определены аналитически. Поэтому производится их приближенное вычисление: придавая всем xi поочередно приращения , вычисляют соответствующие приращения .
1.1. Поиск решения задачи оптимизации градиентным методом
Решение производится следующим образом, графически изображенным на рис.19.1.
Рис. 19.1. Поиск оптимума градиентным методом
В исходной точке А определяется градиент gradQ и делается шаг в направлении градиента. В новой точке В, которая получена после первого шага, снова определяется градиент, делается шаг в его направлении и т.д. до экстремума (максимума или минимума) или до границы области допустимых решений.
1.2. Метод поиска наискорейшего спуска (подъема)
Для ускорения поиска оптимума по градиенту применяется метод наискорейшего спуска (подъема), иллюстрация которого приведена на рис.19.2.
Рис. 19.2. Метод наискорейшего спуска (подъема)
По этому методу в исходной точке А производится вычисление градиента. После этого осуществляется движение по прямой линии, совпадающей с направлением градиента Q. Движение по этой прямой идет до точки Б, в которой прекращается возрастание (убывание) целевой функции Q. В этой точке снова определяется градиент, и движение идет по направлению этого нового градиента и т.д., пока не достигнуты экстремум Q или граница допустимой области.
2. Поиск по способу «оврагов»
Этот метод применяется в случаях, когда поверхность целевой функции имеет сложную «овражную» форму. Геометрическая иллюстрация этого метода показана на рис. 19.3.
Рис. 19.3. Движение по оврагу
Из исходной точки А0 осуществляется движение по градиенту Q до точки В0, где целевая функция начинает мало меняться (приращение за один шаг меньше малой величины ). Затем в стороне от А0 выбирается другая исходная точка А1 и из нее осуществляется движение по градиенту Q до точки В1, где Q начинает мало меняться. После этого делается по прямой В0В1 шаг по «оврагу» до точки А2 и т.д.
3. Метод зигзагообразного поиска
Этот метод применяется, когда движение по градиенту целевой функции Q натыкается на границу ограничений и возникает проблема дальнейшего поиска экстремума в допустимой области (см. рис. 19.4).
Рис. 19.4. Метод зигзагообразного поиска вдоль границы ограничений
По этому методу после того, как пересекается граница допустимой области, производится возвращение в допустимую область путем движения в направлении вектора , представляющего собой сумму градиентов нарушенных ограничений Rj.
(19.2)
Как только текущая точка поиска снова окажется в допустимой области, движение по сменяется на движение по направлению градиента Q.