- •1.Системные исследования
- •2.Системный подход
- •3.Системный анализ
- •4.Системные исследования в менеджменте качества
- •Лекция 2 Определение системы
- •1.Определение понятия «система»
- •2.Основные понятия, входящие в определение системы
- •3.Классификация системы
- •4.Понятие о системе качества
- •1.Понятие о структуре
- •2.Структурные схемы
- •3.Графы структуры
- •3.3Матричная форма записи графа
- •3.4.Списковая форма записи графа
- •Лекция 4 Анализ структуры системы
- •1.Анализ элементов
- •2.Анализ связи
- •3.Диаметр структуры
- •4.Связность
- •5.Степень централизации
- •6.Сложность
- •7.Структурный анализ систем менеджмента качества
- •1.Определение информационного анализа
- •2.Графическая схема (модель) процесса
- •3.Построение информационной модели процесса
- •1.Определение функций системы
- •2.Классификация функций системы
- •3.Описание функций
- •4.Функциональная модель системы
- •Лекция 7 Методология функционального анализа систем sadt (idef)
- •1.Истоки методологии sadt
- •2.Sadt-модель системы
- •3.Декомпозиция sadt-модели
- •4.Основные правила построения sadt-диаграммы
- •Тема 5
- •Лекция 8 Анализ иерархии системы
- •1.Понятие об иерархическом анализе
- •2.Метод анализа иерархии т. Саати
- •3.Построение иерархии
- •1.Понятие о матрицах парных сравнений
- •2.Шкала отношений
- •3.Правила заполнения матрицы парных сравнений
- •1.Понятие о векторе приоритетов
- •2.Методы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений
- •3.Оценка согласованности (однородности) суждений экспертов
- •4. Определение результирующего вектора приоритета.
- •Тема 6
- •Лекция 11 Основные направления математического анализа систем
- •1. Понятие о математическом анализе систем
- •2. Логический анализ систем
- •3. Физическая интерпретация формальных систем
- •4. Пример интерпретации формальной системы
- •Лекция 12 Математическое моделирование систем
- •1. Классификация моделей
- •2. Характеристики основных классов моделей систем
- •3. Оптимизация решений, принимаемых при проектировании и эксплуатации систем
- •Тема 7 Математические методы принятия оптимальных решений
- •1. Процесс принятия решений человеком
- •2. Общая схема принятия решений
- •3. Задача принятия решений
- •4. Формальная модель принятия решений
- •1. Классификация задач принятия решений
- •2. Принятие решений в условиях определенности
- •3. Виды неопределенности задачи принятия решений
- •1. Понятие о морфологическом анализе и синтезе систем
- •2. Морфологические таблицы
- •3. Обобщенный алгоритм комбинаторно-морфологического метода оптимизации решения
- •4. Математическая модель решения задачи оптимизации решений комбинаторно-морфологическим методом
- •Лекция 16 Задача линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •4. Альтернативный оптимум
- •Лекция 18 Нелинейное программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
- •3. Методы условной и безусловной оптимизации
- •4. Классический метод определения условного экстремума
- •5. Метод множителей Лагранжа
- •Лекция 19 Поисковые методы оптимизации
- •1. Непосредственные градиентные методы
- •2. Поиск по способу «оврагов»
- •3. Метод зигзагообразного поиска
- •4. Метод функций штрафа
- •5. Метод случайного поиска
2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
Рассмотрим следующую задачу:
«Найти значения переменных х1 и х2, удовлетворяющих системе ограничений
(16.7)
и условиям неотрицательности , для которых целевая функция .»
Для данной двумерной задачи возможна следующая графическая иллюстрация, показанная на рис. 16.1.
Рис. 16.1. Геометрическая иллюстрация задачи линейного программирования
Каждое из неравенств-ограничений (16.7) определяет полуплоскости, пересечение которых дает многоугольник, заштрихованный на рис.16.1. Этот многоугольник и представляет собой допустимое множество решений задач. Зададимся значением целевой функции . График уравнения (пунктирная линия) представляет собой прямую с отрезками на осях х1=500 и х2=200. При получим прямую z2 параллельную прямой z1, но расположенную выше нее. Двигая прямую вверх параллельно самой себе, находим крайнюю точку А, в которой целевая функция z=max. Таким образом, в точке А находим оптимальное решение задачи линейного программирования: .
Лекция 17
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
1. Фундаментальная теорема линейного программирования
Решение называется опорным решением, если оно является угловой точкой области допустимых решений. Геометрическая иллюстрация опорных решений приведена на рис. 17.1.
Рис. 17.1. Графическая иллюстрация опорных решений
Теорема (фундаментальная)
Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений.
Согласно этой теореме, вместо исследования бесконечного множества допустимых решений с целью нахождения среди них искомого оптимального решения необходимо исследовать лишь конечное число опорных решений. На этом принципиальном положении и основаны методы решения задач линейного программирования.
2. Принципиальная схема решения задачи линейного программирования
Основываясь на фундаментальной теореме, предложена следующая принципиальная схема поэтапного решения задачи линейного программирования:
Этап 1. Задача приводится к канонической форме (см. предыдущую лекцию).
Этап 2. С помощью симплексных преобразований системы ограничительных уравнений найдем все ее решения.
Этап 3. Вычислим для каждого из опорных решений соответствующие значения целевой функции Z.
Этап 4. Путем сравнения найденных значений Z определим, при каком из опорных решений, функция Z достигает наибольшего значения. Это и будет оптимальным решением задачи линейного программирования.
3. Основы симплекс-метода
В общем случае при больших значениях n (число переменных) количество опорных решений может достигать огромных чисел, и практическое осуществление перебора всех опорных решений станет невозможным. Число анализируемых опорных решений можно резко снизить, если указанный выше перебор опорных решений производить не беспорядочно, а целеустремленно, добиваясь на каждом шаге монотонного изменения функции Z, т.е. чтобы каждое вновь испытываемое опорное решение было «лучше» (соответствовало большему значению функции Z), чем предыдущие. Графическая иллюстрация этого приведена на рис. 17.2. Такая последовательность улучшения решений заложена в основу симплекс метода.
Рис. 17.2. Графическая иллюстрация симплекс-метода