10.7.3. Аппроксимация по лучшим точкам

Исследования на широком наборе однопараметрических целевых функций показали, что реально ускорить среднюю сходимость метода парабол по сравнению с универсальным алгоритмом (особенно – при больших масштабах задач) можно за счет перехода от обязательной аппроксимации по точкам {a, с, b} к аппроксимации по трем точкам {x₁, x₂, x₃} из набора {a, с, x_min, b}, у которых наименьшие значения целевой функции.

Практически для унимодальной функции выбор осуществляется следующим образом. Если F(a) < F(b), то: x₁:=а, x₂:=с, x₃:= x_min, иначе: x₁:= с, x₂:=x_min , x₃:= b. Значения x₁, x₂, x₃ могут располагаться не по возрастанию. При таком выборе точек аппроксимации парабола P₂(x) более точно приближает исходную функцию F(х) и сходимость метода в среднем возрастает. Данная модификация метода парабол названа аппроксимацией по лучшим точкам.

Принципы построения алгоритма те же, что и для универсального метода парабол - необходимо учитывать возможность приближения точки с к крайним точкам отрезка a и b, возможность C₂ = 0, раздельный анализ случаев C₂ < 0 и C₂ > 0, возможность выхода точки x_экстр за границы доверительного отрезка и попадание ее в точку с.

Пример 2. Найти минимум функции F(х) = 2х³- 3х² на интервале [0,2; 2] по методу парабол аппроксимацией по лучшим точкам при заданной внутренней точке интервала с = 0,4 и точности  = 0,5.

Решение.

Шаг 0. Предварительные действия. Начальное определение лучших точек: x₁:= a, x₂:= b, x₃:= c. Расчет значений функции в точках a, b, c: F(a) = -0,10; F(с) = -0,35; F(b) = 4.

Цикл по условию (b-a >  ).

Итерация 1. C₂ = 2,2 > 0. x_экстр = 0,58. F(x_экстр) = -0,62.

Выбор аппроксимирующих точек. Так как F(a) < F(b) и с < x_экстр, то x₁:= a, x₂:= с, x₃:= x_экстр .

Анализ и сокращение доверительного интервала. Так как x_экстр >с и F(x_экстр ) < F(с), то a: = c = 0,4; c:= x_экстр = 0,58.

Итерация 2. C₂ = - 0,64. x_экстр = 0,49. F(x_экстр )= -0,49.

Выбор аппроксимирующих точек. Так как F(a) < F(b) и с >x_экстр , то x₁: =a, x₂:= x_экстр, x₃:= с .

Анализ и сокращение доверительного интервала. Так как x_экстр < с и F(x_экстр ) > F(с), то a: = x_экстр = 0,49.

Итерация 3. Так как (с – а)/(b – а) < 0,09/1,510,060 < 0,1, то x_экстр = c + 0.25 (b-c) = 0,94. F(x_экстр ) = -0,988.

Выбор аппроксимирующих точек. Т.к. F(a) < F(b) и с < x_экстр , то x₁:= a, x₂:= с, x₃:= x_экстр.

Анализ и сокращение доверительного интервала. Так как x_экстр > с и F(x_экстр ) < F(с), то a: = c = 0,58; c:= x_экстр = 0,94.

Итерация 4. C₂ = 1,02. x_экстр = 1,27. F(x_экстр )= -0,75.

Выбор аппроксимирующих точек. Т.к. F(a)<F(b) и с<x_экстр , то x₁ =a, x₂=с, x₃= x_экстр.

Анализ и сокращение доверительного интервала. Так как x_экстр >с и F(x_экстр ) > F(с), то b: = x_экстр =1,27.

Итерация 5. C₂ = 2,57. x_экстр = 0,96. F(x_экстр )=-0,995.

Выбор аппроксимирующих точек. Так как F(a) > F(b) и с < x_экстр, то x₁:= c, x₂:= x_экстр, x₃:=b .

Анализ и сокращение доверительного интервала. Так как x_экстр > с и F(x_экстр ) < F(с), то a:= c = 0,94; c:= x_экстр = 0,96.

Поскольку (b-а) = 0,33 < , то цикл завершается.

Ответ: Выполнено 5 итераций, вычислено 8 значений функции, найден доверительный интервал [0,94;1,27].

Замечание. При малых масштабах задач (Примеры 1,2) сравнение скорости сходимости различных вариантов метода парабол не достаточно показательно.

Тестовые проверки подтверждают в среднем более быструю и стабильную сходимость данного варианта метода парабол.

Общим недостатком всех вариантов метода парабол является быстрый рост погрешностей при вычислении коэффициентов параболы при сближении аппроксимирующих точек в завершающей фазе поиска.

В среднем приведенные варианты метода парабол обеспечивают наиболее быструю сходимость среди всех методов нулевого порядка, основанных только на вычислении значений функции. Однако корректная реализация данных аппроксимационных методов, обеспечивающая гарантированную их сходимость для унимодальных функций на заданном доверительном отрезке, требует применения довольно сложных алгоритмов.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какова основная идея метода парабол ?

2. Почему по методу парабол необходимо задание трех точек аппроксимации ?

3. Почему метод парабол хорошо аппроксимирует дифференцируемые целевые функции в достаточной близости от точки экстремума ?

4. Каковы основные проблемы, затрудняющие практическое использование метода парабол ?

5. В чем заключается идея метода парабол с использованием симметричной точки и в чем его недостатки ?

6. Какие общие недостатки метода парабол устраняются при использовании универсального алгоритма данного метода ?

7. В чем заключается идея метода парабол с аппроксимацией по лучшим точкам ?

8. Каковы основные преимущества и недостатки метода парабол ?