10.7. Метод парабол (квадратичная аппроксимация)

Основная идея метода заключается в аппроксимации целевой функции F(x) алгебраическим полиномом 2 степени (квадратичной параболой) вида P₂(x) = C₀ + C₁x + C₂x², где C₀ , C₁ , C₂ - постоянные коэффициенты. Поскольку их число равно трем, то в общем случае для однозначного построения параболы необходимо задание трех точек на ней. Обычно – это крайние точки доверительного отрезка [a,b] и внутренняя его точка с (a < c < b) (рис.10.14). Метод имеет много вариантов.

Рис.10.14

Система уравнений, описывающих прохождение аппроксимирующей параболы P₂(x) через точки (a, F(a)), (b, F(b)), (c, F(c)) c попарно различными значениями a, b, c (рис.10.14) имеет вид:

C₀ + C₁a + C₂a² = F(a);

C₀ + C₁c + C₂c² = F(c);

C₀ + C₁b + C₂b² = F(b).

Точка x_экстр локального экстремума параболы (при C₂ >0 - минимум, при C₂<0 - максимум) достигается при условии P₂ (x_экстр) = 2C₂x_экстр + C₁ = 0. На рис.5.2 рассмотрен случай C₂>0 , при котором достигается минимум (x_min).

Из приведенных зависимостей величину x_экстр можно представить, например, следующим образом:

_{(10.4 а)}

_{(10.4 б)}

Метод парабол хорошо аппроксимирует дифференцируемую функцию F(x) в достаточной близости от точки экстремума х=c по следующей причине. Разложение функции в окрестности данной точки по формуле Тейлора 2-го порядка имеет вид:

F(x) = F(с)+ F(x)(х-с)+(1/2!)F(x)(х-с)² + o ((х-с)²),

где o ((х-с)²) – величина малого порядка. Линейное слагаемое F(x)(х-с) в данном разложении близко к нулю и основной вклад вносит квадратичная часть.

Однако в общем случае существует ряд проблем, затрудняющих практическое использование метода парабол. Основные из них в заключаются в следующем:

1. При отсутствии контроля положения точки на доверительном отрезке аппроксимируемые точки могут уйти с него и дать в итоге решение, лежащее за его границей. Причем вместо локального минимума может быть найден максимум и наоборот.

2. Если целевая функция F(x) не является дифференцируемой в точке экстремума х=c, то приведенное выше разложение по формуле Тейлора 2-го порядка не справедливо, поскольку не выполнены условия Теоремы Тейлора. При этом обычный метод парабол дает достаточно медленную сходимость и необходимо использовать дополнительные приемы для её ускорения. Отсутствие дифференцируемости обычно связано с использование модуля в целевой функции.

3. Если точки (a,F(a)), (b,F(b)), (c,F(c)) лежат на одной прямой (например, у функции, график которой имеет вид ломаной), то старший коэффициент параболы C₂ теоретически равен нулю и величина x_экстр стремится к бесконечности (положительной или отрицательной). Следовательно, использовать вышеприведенные формулы невозможно.

4. При использовании метода парабол на доверительном отрезке [a, b] зачастую возникают ситуации, когда точки с,x_min в течение целого ряда выполняемых подряд итераций группируются у точки a либо у точки b, причем F(a) > F(c) >F(x_min) (рис.10.15) либо, соответственно, F(b)>F(c)> F(x_min). В этом случае сокращается относительно малая доля доверительного отрезка ( [a, с] – на рис.10.15 - либо [с, b]) и последовательность точек x_min медленно приближается к искомому минимуму функции F(х). Основная причина данного явления заключается в том, что одна из точек, по которым производится аппроксимация, довольно далеко удалена от искомого минимума – например, точка b на рис.10.15. Это вносит значительную погрешность в процесс аппроксимации исходной функции полиномом P₂(x) и, соответственно, замедляет сходимость.

Рис.10.15

Для того, чтобы метод парабол можно было эффективно применять для поиска минимума любых унимодальных функций, должны быть учтены все изложенные замечания.