19

Глава 11. Численное дифференцирование и интегрирование функций

11.1. Численное дифференцирование функций

Методы численного дифференцирования используют в тех случаях, когда исходная функция F(x) не может быть продифференцировано аналитически (например, при табличном задании функции) либо выражение для производной очень громоздко. Численное дифференцирование заключается в аппроксимации (приближенном расчете) производных.

Точным значением первой производной функции F(x) в точке x=с называют предел отношения приращения функции F(с)= F(с+x) - F(с) к соответствующему приращению аргумента x при стремлении x к нулю:

F (с)= lim(F(с)/x) при x0. (11.1)

Точные значения производной второго порядка получают, рассматривая аналогичный предел для первой производной и т.д.

При численном расчете первой производной, полагая x равным некоторому конечному числу, получают приближенное равенство для ее вычисления:

F (с) F(с) /x. (11.2)

Данную замену называются аппроксимацией (приближением) производной с помощью конечных разностей (значения x и F(с) в формуле (11.2) конечны в отличие от бесконечно малых значений в (11.1)).

В общем случае при численном дифференцировании применяется стандартный подход в аппроксимации функций – вместо исходной функции F(x), для которой неизвестно либо имеет неподходящий вид аналитическое выражение, подбирают удобно вычисляемую функцию f(x,С₀,С₁,…,С_k), зависящую помимо х также от дополнительных параметров {С₀,С₁,…,С_k}, для которой приближенно полагают:

F (x)= f (x,С₀,С₁,…,С_k).

В качестве функции f(x,С₀,С₁,…,С_k) обычно принимают полином степени k. Существенной особенностью рассматриваемой задачи аппроксимации является некорректность ее решения в общем случае, поскольку при расчете с помощью вычислительных устройств отсутствует устойчивость получаемого решения из-за вычитания друг из друга близких значений функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то возможны ситуации, когда все значащие цифры будут потеряны. Поэтому при выполнении численного дифференцирования возникает следующая проблема выбора оптимального шага при расчете значений функции. При слишком крупном шаге будут велики погрешности самой математической модели (замены точной производной приближенной формулой), но мало сказываются погрешности округления при расчете. При слишком мелком шаге уменьшаются погрешности математической модели, но возрастают ошибки, вызванные округлениями при расчете.

Рассмотрим задачу численного определения производных в общем виде. Допустим, в узловых точках х₀, х₁,…, х_n известны значения функции y = F(x): y₀=F(x₀), y₁=F(x₁),…, y_n=F(x_n). Теоретически для численного расчета производных возможно применение двух подходов.

1. Глобальная интерполяция F(x). По значениям y₀=F(x₀), y₁=F(x₁),…, y_n=F(x_n) функцию F(x) аппроксимируют на заданном отрезке интерполирования [x₀, x_n] единым интерполяционным полиномом Р_n(x) минимальной степени n: F(x) Р_n(x).

Тогда s-тую производную F^s(x) функции F(x) на отрезке интерполирования [x₀, x_n] также приближенно можно заменить s-той производной от интерполяционного полинома Р_n(x):

F^s (x)  Р_n ^s (x). (11.3)

Однако на практике метод аппроксимации функции одним интерполяционным полиномом при больших значениях n не применяют из-за получаемых больших погрешностей значений как производных, так и функции между узловыми точками.

2. Наибольшую точность дает локальная интерполяция функции полиномами наименее возможной степени k, при которой для определения производной в заданной точке х используется аппроксимирующий полином, построенный по точкам, ближайшим к х. Рассмотрим данный подход на равномерной сетке значений аргумента {х₀, х₁,…, х_n}, в которой все соседние точки отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии: х_i+1 - х_i = h = const. Расстояние h называют шагом сетки.

При наличии сетки выделяют два вида задач численного дифференцирования:

1) расчет производных в произвольных точках х отрезка [х₀, х_n], который требуется при точечном исследовании свойств функции, и

2) расчет производных в узлах х_i заданной равномерной сетки, что используется при численном решении дифференциальных уравнений, интегрировании и т.д.