11.1.3. Погрешность численного определения производных
Основным источником погрешности при численном дифференцировании является локальная интерполяция функции F(x) по узловым точкам. При использовании локального интерполяционного полинома Рk(x) степени k для аппроксимации F(x) при численном расчете производной функции Fs(x) порядка s (при этом: k s) имеем:
F(x) = Рk (x) + R k (x), (11.9)
где Rk(x) - ошибка интерполяции (остаточный член интерполирования). Очевидно, при этом точное выражение для производной функции порядка s, получаемое s-кратным дифференцированием равенства (11.9), имеет вид:
Fs (x) = Рk s (x) + R k s (x). (11.10)
Принимая приближенно
Fs (x) Рk s (x), (11.11)
получаем, что точное значение абсолютной погрешности численного дифференцирования в данном случае равно R k s (x). Однако непосредственная оценка этой величины в общем случае затруднена и практически к оценке точности численного дифференцирования применяют иной подход.
Рассмотрим численное дифференцирование с использованием минимального числа узлов на равномерной сетке, при котором для расчета производной Fs(x) порядка s используются значения функции в (s+1) узле. В этом случае приближенное значение производной может быть представлено в виде суммы (s+1) значения функции yi, взятых с некоторыми постоянными коэффициентами Ci:
(11.12)
Для оценки погрешности формулы (11.12) все входящие в ее правую часть значения функции yi разлагают по формулам Тейлора относительно текущей точки х, для которой выполняется приближенный расчет производной (11.12). Искомое выражение погрешности определяем после подстановки разложений в формулу (11.12) и вычитания из нее точного значения производной Fs(x). Полученное выражение , как правило, может давать различные порядки погрешности по h в зависимости от подставляемых в нее точек .
В качестве примера рассмотрим оценку погрешности формулы приближенного расчета первой производной функции F(x) при помощи правого разностного отношения (11.4 б): F (x) (уi+1 - уi)/h. Заменим значения уi и уi+1 по формулам Тейлора относительно точки x с точностью до слагаемых 4 порядка по разности (х - хi):
Подставляя выражения для уi и уi+1 в правую часть (11.4 б), представим ее в виде:
Приближенная величина погрешности (ошибки) формулы (11.4 б) для произвольной точки х[хi, хi+1] будет следующей:
(11.13)
Подставляя
в полученное выражение (11.13) крайнюю
левую точку отрезка х
=
хi
получим в ней:
Т.е. в этой точке формула (11.4 б) является
формулой первого порядка точности по
шагу h.
Можно показать, что для любой точки
х[хi,
хi+1]
формула (11.4 б) также будет иметь первый
порядок точности. Исключение составляет
лишь точка х
i(ср)=
(хi+
хi+1)/2
– середина отрезка [хi,
хi+1],
для которой
Следовательно, в этом случае формула
(11.4 б) является формулой второго порядка
точности по шагу h.
Рассмотрен лишь один из источников погрешности численного дифференцирования – погрешность аппроксимации, которая определяется величиной остаточного члена. Как уже отмечалось выше, анализ остаточного члена нетривиален. Отметим, лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага h, как правило, уменьшается. Рассмотренный пример, позволяет также сделать вывод о том, что погрешность формул численного дифференцирования зависит от того, в какой точке вычисляется производная.
Другой источник погрешности численного дифференцирования связан с погрешностями вычисления значений функции yi в узлах и с погрешностями округлений при проведении расчетов на компьютере. Обусловленные этими причинами погрешности, в отличие от погрешности аппроксимации, возрастают с уменьшением шага h. Действительно, если при вычислении значения функции F(x) абсолютная погрешность равна d, то при вычислении дробей в (11.4 а) и (11.4 б) она составит 2d/h. Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результата.
Вопросы для проверки знаний.
1. В каких случаях применяют численное дифференцирование ?
2. Какую величину называют точным значением первой производной функции ?
3. Чем принципиально отличается точное значение производной от приближенного, найденного аппроксимацией (приближением) производной с помощью конечных разностей ?
4. Какой общий подход применяется при численном расчете производных, в чем заключается применение глобальной и локальной интерполяции функции ?
5. Что называют равномерной сеткой, какие две задачи численного расчета производных решают на ней ?
6. Что называют левым, правым и центральным разностным отношением при численном расчете первой производной, каков смысл данных отношений ?
7. Каково минимальное число узлов для построения разностного отношения для численного расчета производной порядка 5 ?
8. В каких случаях при построении приближенных формул для расчета производной порядка s по минимальному числу узлов будут получаться несимметричные, а в каких – симметричные отношения ?
9. По какому общему правилу можно простроить разностное отношение для численного расчета производной порядка s по минимальному числу узлов (s+1) на равномерной сетке с шагом h ?
10. Каков простейший способ построения центрального отношения при нечетном порядке степени производной s ?
11. Какой вид получает разностное отношение для производной степени s при использовании для построения ее приближенной формулы р > s +1 числа узлов ?
12. Что является основным источником погрешности при численном дифференцировании ?
13. Чему теоретически равна погрешность при численном дифференцировании ?
14. Какой подход применяют при практической оценке точности численного дифференцирования ?
15. Какие существуют другие источники погрешности численного дифференцирования помимо погрешности аппроксимации ?
Практическое задание.
1. Используя равномерную сетку с шагом 0,1 и начальным узлом 1,0, найти для функции F(x) = sinx в точке 1,3:
а) левое, правое и центральное разностные отношения, приближающие первую производную,
б) разностное отношение второго порядка, приближающее вторую производную,
в) левое, правое и центральное разностные отношения третьего порядка, приближающие третью производную.
Получаемые значения сравнить с точными величинами производных.