11.4. Метод Симпсона (метод парабол)

Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на четное число n частичных равных отрезков [x_i-1, x_i] (i = 1, 2,...,n, a = x₀ < x₁ <...< b = x_n) с постоянным шагом h. На каждом двойном частичном отрезке [x_i-1, x_i+1], содержащем три узла, подынтегральная функция f(x) интерполируется полиномом второй степени - квадратичной параболой, проходящей через три узловые точки (x_i-1,f_i-1),(x_i,f_i) и (x_i+1,f_i+1). В форме интерполяционного полинома Ньютона данная парабола имеет вид:

С учетом (x-x_i) = (x-x_i-1-h) интерполяционный полином принимает вид:

Интегрируя это выражение на частичном отрезке [x_i-1, x_i+1] длиной 2h, получим:

(11.29)

Приближенное значение всего интеграла на полном отрезке интегрирования [a,b] получаем суммированием частичных интегралов (11.29) по всем частичным отрезкам [x_i-1, x_i+1]:

. (11.30)

Формулу (11.30) называют формулой Симпсона или формулой парабол.

Второй вариант формулы получают в том случае, когда подынтегральную функцию f(x) интерполируют квадратичной параболой на каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] с привлечением дополнительной точки x_i-0,5 – середины данного отрезка. При этом число отрезков разбиения n может быть произвольным (не обязательно четным), а формула Симпсона принимает вид:

. (11.31)

Формула (11.30) пригодна для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (11.31) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Пример 1. Для функции f(x) = sinx определить приближенное значение определенного интеграла на отрезке [-/6;] с шагом /6 по методу Симпсона с использованием значений функции f(x) в средних точках между узлами из примера 1 п. 11.3. Найти абсолютную погрешность.

Решение. По формуле (11.31) получим:

S(/36)(-0,5+4(-0,258819)+20+4(0,258819)+20,5+4(0,707107)+20,866025+ +4(0,965926)+ 21+4(0,965926)+20,866025+4(0,707107)+20,5+4(0,258819)+0) 

1,866075.

Абсолютная погрешность  = S - I_т= 1,866075 - 1,866025= 0,000050.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какой вид аппроксимации подынтегральной функции используется в методе Симпсона?

2. Почему вариант метода Симпсона (11.30) пригоден для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, а формула (11.31) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически ?

11.5. Оценка погрешности формул Ньютона-Котеса

Формулы, выведенные по методу Ньютона-Котеса для приближенного вычисления определенных интегралов, называют квадратурными. Они имеют одинаковую структуру:

, (11.32)

где f_i – значения подынтегральной функции f(x) в узловых точках x_i, положение которых не зависит от вида функции f(x), а определяется только самим методом; А_i – весовые коэффициенты, также не зависящие от функции f(x), а определяемые методом.

Как и в случае численного дифференцирования, для оценки точности численного интегрирования используется разложение подынтегральной функции f(x) в окрестности применяемых узловых либо вспомогательных точек, которые используются при расчете интеграла.