11.6.2. Локальная оценка Интегрирование с постоянным шагом. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности численного интегрирования

Применение правила Рунге сразу ко всему отрезку интегрирования [a, b] и соответствующее уменьшение шага на нем является глобальным, т.е. относящимся ко всей рассматриваемой области определения функции f(x). На больших отрезках [a, b] функция может существенно изменять свои свойства. При этом на тех участках, где f(x) близка к линейной, для получения высокой точности не нужна слишком мелкая сетка из узлов, в то время, как на участках с существенно нелинейным изменением f(x) такая сетка необходима.

Раздельный учет особенностей f(x) на разных участках общего отрезка при ее интегрировании возможен при локальном контроле погрешности интегрирования, когда правило Рунге и коррекция шага интегрирования производятся независимо на отдельных частях [a_i, b_i] отрезка [a, b]. В этом случае при общей заданной точности интегрирования  на всем [a, b] на частичном отрезке [a_i, b_i] вводится локальная точность, пропорциональная его длине _i = (b_i-a_i)/(b-a). При использовании метода интегрирования порядка р условие получения требуемой точности на [a_i, b_i] принимает вид:

I^(h/2) - I^(h)  _i (2^р-1)  (2^р-1)(b_i-a_i)/(b-a). (11.42)

При локальном контроле в худшем случае ошибка вычисленного значения интеграла на всем [a, b] не будет превосходить сумму локальных погрешностей, т.е. не будет превосходить заданного уровня погрешности .

Способ вычисления интеграла с автоматическим выбором шага имеет то преимущество, что он “приспосабливается” к особенностям подынтегральной функции: в областях резкого изменения функции шаг уменьшается, а там, где функция меняется слабо, – увеличивается. Такие алгоритмы называют адаптивными, т.е. приспосабливающимися. Использование адаптивных алгоритмов позволяет при заданной точности  уменьшить количество вычислений значений f(x) по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом, т.е. сократить затраты машинного времени без потери точности решения.

Вопросы для проверки знаний.

1. Почему априорные оценки погрешности методов численного интегрирования нельзя использовать для определения необходимого шага интегрирования ?

2. В чем заключается сущность апостериорных методов оценки погрешности операции численного интегрирования ?

3. В чем заключается правило Рунге оценки абсолютной погрешности для метода интегрирования порядка р ?

4. Почему правило Рунге для методов трапеций и Симпсона имеет разный вид ?

5. Каким образом правило Рунге используется для определения необходимого шага интегрирования ?

6. В каких случаях необходим локальный контроль погрешности интегрирования, как он выполняется и каковы его преимущества ?

Практическое задание.

1. Найти с использованием правила Рунге интеграл функции f(x)=1/x на отрезке [1, 8] с точностью  = 0,02 по методу Симпсона. Погрешность полученного значения проверить по точному решению.