Глава 8. Численные методы Решения нелинейных уравнений
Уравнения, не представимые в линейном виде, называют нелинейными. Решение нелинейных уравнений и их систем является одним из наиболее распространенных видов математических задач в самых различных разделах науки и техники.
В самом общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным хR можно записать в виде:
f(x) = 0, (8.1)
где f(x) – некоторая нелинейная непрерывная функция аргумента x.
8.1.Корни нелинейного уравнения. Виды нелинейных уравнений и методы их решения
Всякое число xi, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. при котором выполняется условие (8.1), называют корнем данного уравнения. Если в точке x =xi наряду с функцией обращаются в ноль и ее производные до (k-1) порядка включительно, то число xi называют корнем k-й кратности. Однократный корень также называют простым.
В зависимости от вида функции f(x) нелинейные уравнения подразделяют на алгебраические, уравнений специального вида и трансцендентные.
В алгебраических уравнениях функция f(x) является алгебраической функцией (в общем случае - рациональной (целой или дробной) или иррациональной). Однако чаще всего под алгебраическим уравнением имеют в виду только уравнения с левой частью f(x) многочленом - целой рациональной алгебраической функцией. В канонической форме данный вид уравнений имеет следующий вид:
f(x) = сnхn + ... + с2х2 + с1х + с0 = 0, (8.2)
где сn ,...,с2,с1,с0 – коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения. Коэффициент сn при максимальной степени хn называют старшим. Если старший коэффициент многочлена равен 1, то многочлен называют приведенным.
Уравнения степени n = 2 называют квадратными, n = 3 - кубическими.
Пример 1. Алгебраические уравнения:
1) х2 + 3х + 2 = 0 - приведенное квадратное уравнение;
2) aх3 + bх2 + cх + d = 0 - кубическое уравнение;
3) aх4 + bх3 + cх2 + dх + e = 0 - алгебраическое уравнение 4 степени;
4) aх4 + bх2 + c = 0 - биквадратное уравнение (уравнение степени 4 с нулевым кубическим коэффициентом);
5) хm + c = 0 - приведенное двучленное степенное уравнение m-й степени;
6) aх2m + bх m + c = 0 - обобщенное биквадратное уравнение.
Среди уравнений алгебры, отличных от алгебраических, выделяют такие специальные виды, как показательные, логарифмические, тригонометрические и другие, которые содержат только функции одного вида либо выражения, приводимые к ним (например, 1= cos2х + sin2х).
Если же в уравнение входят функции различных видов (например, многочлен и логарифм, тригонометрическая и показательная), то такое уравнение называют трансцендентным.
Пример 2. Уравнения, отличные от алгебраических:
1) cos2х + cos2х + 1,5 = 0 - тригонометрическое уравнение;
2) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3 - логарифмическое уравнение;
3) sin х + 2 lg х =10х - трансцендентное уравнение;
4) 2x — lоg2 х = arccos x - трансцендентное уравнение.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые, аналитические и численные (итерационные).
Прямые методы позволяют записать условие существования решения и корни (если они существуют) в виде некоторого готового соотношения (формулы). Выяснить существование корней и вычислить их значения корней можно за конечное число арифметических операций. Например, квадратные уравнения решаются прямым методом с использованием двух формул - для дискриминанта и корней. Условия проверки существования решения и формулы для корней являются точными и не содержат погрешностей метода и вычислений.
Аналитическое решение уравнения обычно производится путем изучения его ОДЗ (области допустимых значений неизвестных) и выполнения тождественных преобразований, при которых уравнение последовательно заменяется равносильными ему. Получаемые в итоге возможные решения уточняются с помощью ОДЗ. Такие методы развиты для решения специальных уравнений - тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Прямые и аналитические методы затрачивают, как правило, минимальное число операций на определение решений и являются точными, т.е. они устанавливают однозначные зависимости между начальными данными задачи (коэффициентами уравнения) и его решениями – даже в тех случаях, когда коэффициенты известны приближенно. При этом сам метод решения не вносит дополнительной погрешности в итоговое решение.
Однако основную массу нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми и аналитическими методами - даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не существует аналитических решений в виде формул с конечным числом арифметических действий. Решение трансцендентных уравнений также возможно только в отдельных случаях, в основном на основе исследования ОДЗ неизвестного и области значений функций, входящих в уравнение. Например:
Практически все трансцендентные уравнения не решаются аналитически. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью за счет использования итерационных расчетов, в которых сходные вычисления выполняются циклически над изменяющимися данными.
Поскольку коэффициенты уравнений, описывающих реальные объекты и процессы, как правило, получают в результате измерений и оценок с некоторой погрешностью, то само понятие “точное решение” в данном случае лишается своего изначального смысла. Поэтому практически приемлемым подходом является обеспечение требуемой точности получаемого решения.
Вопросы для проверки знаний.
1. Какую величину называют корнем уравнения ?
2. Что означает, что корень уравнения имеет кратность степени k ?
3. Какие уравнения называют алгебраическими ?
4. Какие алгебраически уравнения называют приведенными ?
5. Какие уравнения называют трансцендентными ?
6. На какие группы делят методы решения нелинейных уравнений ?
7. В чем заключаются прямые методы решения нелинейных уравнений ?
8. В чем заключаются аналитические методы решения нелинейных уравнений ?
9. В чем заключаются численные методы решения нелинейных уравнений ?