10.6. Аппроксимационные методы. Метод ломаных

Как отмечено выше, у данных методов, основанных на аппроксимации функций алгебраическими полиномами, отбрасываемые участки доверительного интервала имеют не строго определенные длины, как у регулярных методов, а зависят от оптимизируемой функции, выбранного исходного отрезка и метода аппроксимации.

10.6. 1. Метод ломаных (линейная аппроксимация)

Данный метод является одним из универсальных последовательных методов поиска глобального экстремума (пригодным для любых, не обязательно унимодальных функций, со многими локальными экстремумами). В нем значения функции на отдельных участках заменяют наклонными прямыми - линейными полиномами.

Функция F(x) на заданном доверительном отрезке [a,b] должна удовлетворять условию Липшица. По нему для функции F(x) и отрезка [a,b] должна существовать константа L > 0, такая, что для любых x₁, x₂  [a,b] удовлетворяется условие:

 F(x₁) - F(x₂)   Lx₁ - x₂.

Константа L > 0 называется константой Липшица. Она должна быть найдена до начала обращения к методу. Геометрический смысл её заключается в том, что она ограничивает модуль скорости роста (производной) целевой функции:F(x) L. Функция при этом может иметь точки излома (разрыва первой производной).

В процессе работы метода создаются и постепенно расширяются списки пробных точек {x_i} = {a=x₁, ..., x_n=b} и значений функции в пробных точках {F_i} = {F(x₁), ...,F(x_n)}. Также отслеживается текущее минимальное значение функции F_min. На начальном этапе принимают n=2, {x_i} = {x₁=a, x₂=b}, {F_i} = {F(a),F(b)}, F_min = {min(F(a), F(b)).

Интервалы между пробными точками ( x_i, x_i+1 ) (i=1, …,n-1) при расширении множества пробных точек пропускаются в тех случаях, когда:

а) длина их меньше заданной точности ,

б) наименьшее возможное значение F(x) на (x_i, x_i+1) (исходя из константы Липшица) F_i^L будет больше текущего значения F_min (поскольку в этом случае F_min заведомо не может быть уменьшено).

На рис.10.13 графически поясняется выбор для интервала (x_i, x_i+1) внутренней пробной точки x_iв и расчёт величины наименее возможного значения F_i^L. Угол  определяется по константе Липшица: tg = L;  = arctg L.

Рис. 10.13

Формулы для x_iв и F_i^L будут следующими:

x_ic = (x_i + x_i+1)/2;

x_iв = x_ic + (F_i - F_i+1)/(2L);

F_i^L = F_i - (x_iв - x_i) L .

Геометрический смысл определения промежуточных точек на интервалах заключается в линейной аппроксимации двумя ограничивающими прямыми, проведенными под углами  и (-) к угловым точкам интервала.

После каждого прохода по интервалам между пробными точками формируются дополнительные списки новых пробных точек и значений функции в них, которые затем сливаются с исходными. Также на каждом проходе уточняется текущее минимальное значение функции F_min.

Вычисления заканчиваются, когда после очередного прохода дополнительные списки пробных точек будут пустыми, т.е. не было рассчитано ни одной новой внутренней точки x_iв .

В качестве искомого глобального минимума функции принимают текущее значение F_min.

Основной недостаток метода – необходимость в априорном знании константы Липшица минимизируемой функции F(x) на заданном отрезке [a,b] . Её приближённое определение для произвольных функций представляет собой отдельную задачу.

При больших масштабах задач М=(b-a)/ массивы пробных точек и значений функции в них имеют большую размерность. Поэтому в соответствующих программах необходимо заранее резервировать под них значительные участки памяти, что также является немаловажным недостатком данного метода.

Метод ломаных принадлежит к группе аппроксимационных методов. В нем используется линейная аппроксимация оптимизируемой функции – ограничивающие прямые являются алгебраическими полиномами первой степени. Однако у дифференцируемых функций поведение в области экстремумов более точно описывается полиномами второй степени и выше.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какой вид аппроксимации функции используется в методу ломаных ?

2. Что называют условием Липшица ?

3. Что такое константа Липшица, в чем заключается ее геометрический смысл ?

4. Каков графический смысл выбора для интервала (x_i, x_i+1) внутренней пробной точки и расчёта величины наименее возможного значения функции на ней ?