§4. Законы Кирхгофа в комплексной форме

В общем виде законы Кирхгофа соблюдаются для мгновенных значений, то есть для функций времени. Для простых действующих или амплитудных значений эти законы не соблюдаются. Законы соблюдаются только при учете начальных фаз колебаний, то есть в векторной или комплексной форме как бы при остановке времени. Должна быть одна и та же частота у всех токов или напряжений. Поэтому чисто математически законы Кирхгофа можно записать для комплексных действующих или амплитудных значений при одинаковой частоте колебаний.

i₁ - i₂ – i₃ = 0

I_m1 – I_m2 – I_m3 ≠ 0

Аналогично для напряжений.

После введения таких символических понятий, как комплексные токи и напряжения, можно ввести понятие комплексного сопротивления для участка цепи.

; - модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление цепи, характеризует отношение величины напряжения участка цепи к величине тока через этот участок )

- аргумент комплексного сопротивления (характеризует сдвиг фаз между напряжением и током данного участка цепи)

, где R_э – вещественная часть – резистивное сопротивление (активное);

X_э – мнимая часть – реактивное сопротивление.

Применяют понятие и комплексной проводимости, как величины, обратной комплексному сопротивлению.

, где y – модуль комплексной проводимости цепи, (полная проводимость).

Ψ= - φ.

Понятия комплексного сопротивления и проводимости являются основополагающими в первом семестре, так как все основные выводы будут базироваться на использовании этих величин.

§5. Анализ режима гармонического тока в пассивных элементах

элек­трической цепи

1. Гармонический ток в резисторе

,

U_mR=R▪I_m , сдвиг фаз между напряжением и током в резисторе , то есть колебание напряжения совпадает по фазе с колебанием тока, .

2. Ток в индуктивности

, I_m=I_m▪e^Ψi U_mL=U_m▪e^Ψi+π/2

- индуктивное сопротивление, φ_L = π/2 > 0 – фазовый сдвиг в индуктивности между колебаниями напряжения и тока, то есть напряжение опережает ток на π/2 (90⁰) или четверть периода.

- Комплексное сопротивление индуктивности.

3. Ток в емкости

- емкостное сопротивление, φ_С = - π/2 < 0 – фазовый сдвиг в емкости между колебаниями напряжения и тока, то есть напряжение отстает от тока на π/2 (90⁰) или четверть периода.

I_m=I_m▪e^Ψi U_mC=U_mC▪e^Ψi-π/2

- комплексное сопротивление емкости.

§6. Анализ последовательных r, l, c – цепей при гармоническом

воз­действии

1. Анализ RL-цепочки

На основе второго закона Кирхгофа

Приведем уравнение в комплексную форму на основе того, что частота тока и напряжения будет одна и та же.

Получим алгебраическое выражение:

,

где - полное сопротивление RL-цепи; а - комплексное сопротивление.

- сдвиг фаз между напряжением и током в RL-цепи. В RL-цепи напряжение опережает ток на угол меньше чем 90⁰.

Частотные характеристики при U_m=const

0

0

0

0

Треугольник сопротивлений и векторная диаграмма