1.1.5 Аналіз результатів повторних спостережень

Як уже зазначалося, при проведенні повторних спостережень зміню-

ваність їх значень викликана не лише випадковими причинами, але й дрей-фом впливових величин. Звичайно, оцінка невизначеності за типом А враховуватиме вплив як випадкових факторів, так і вплив дрейфу, однак якщо величина дрейфу за час спостережень, значна, це може призвести до того, що середнє значення із результатів спостережень буде поганою оцінкою очікуваного значення. В таких випадках бажано вплив дрейфу виявити і, за можливості, або внести поправки в результати повторних спостережень, або повторити вимірювання, усунувши дрейф.

Аналіз впливу результатів повторних спостережень на наявність дрейфу впливових величин можна провести методами статистичної пе-ревірки статистичних гіпотез. До таких методів відноситься, зокрема, ме-тод послідовних різниць та метод порівняння середніх.

Суть методу послідовних різниць наступна. Якщо в процесі вимірю-вання внаслідок дрейфу відбувалося зміщення центру групування резуль-татів спостережень, то оцінка дисперсії згідно формули (1.2) дасть завище-не значення в порівнянні зі значенням, яке б отримали в тому випадку, ко-ли дрейф відсутній. В той самий час на величину

(1.8)

зміщення центру групування результатів спостережень це впливає мало, оскільки за час між двома послідовними спостереженнями дрейф впли-вового фактора незначний, тобто відмінність результатів двох послідов-них спостережень буде обумовлена, в основному, випадковими причина-ми. Тоді результат ділення

(1.9)

буде тим меншим, чим більший дрейф впливових величин, тобто його можна взяти за критерій зміщення центру групування результатів повторних спостережень.

Критична область для цього критерію (критерію Аббе) визначається як (1.10)

Значення А_кр для різних рівнів значимості наведені в таблиці 1.1.

Таблиця 1.1 - Критичні точки критерію Аббе

n	Акр при різних 
	1	2	3
	0.001	0.01	0.05
1	2	3	4
1	0.30	0.31	0.39
2	0.21	0.27	0.41
3	0.18	0.28	0.44
4	0.19	0.3 1	0.47

Продовження таблиці 1.1

1	2	3	4
5	0.20	0.33	0.49
6	0.22	0.35	0.51
7	0.24	0.38	0.53
8	0.26	0.40	0.55
9	0.28	0.41	0.56
10	0.30	0.43	0.58
11	0.31	0.45	0.59
12	0.33	0.46	0.60
13	0.34	0.48	0.61
14	0.36	0.49	0.62
15	0.37	0.50	0.63
16	0.38	0.51	0.64
17	0.39	0.52	0.65

Якщо розраховане значення критерію Аббе при заданих  та n менше від А_кр, то нульова гіпотеза про постійність центра групування результатів відкидається, тобто спостерігається зміщення результатів спостережень вна-слідок дрейфу впливових величин.

Для того, щоб виявити дрейф впливових факторів методом порівняння середніх, всю сукупність результатів спостережень y_i(i=1,n) розбивають на дві сукупності y_1i(i=1, n-s) та y_2i(i=n-s, n), для кожної з яких розраховують середні значення .

Нехай в результаті прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями, проведених в однакових умовах, отримано ряд результатів спостережень y₁..., y_i,... y_n .

Необхідно оцінити результат та похибку вимірювання - обробити ре-зультати повторних спостережень. Обробка результатів повторних спосте-режень містить в собі ряд операцій. Перш за все, необхідно вилучити з ре-зультатів повторних спостережень відомі систематичні похибки, тобто от-римати виправлені результати спостережень. Це робиться шляхом внесення в результати поправки, яка є величиною, що дорівнює за модулем відомій систематичній похибці і протилежна їй за знаком. Якщо всі результати спостережень містять постійну систематичну похибку, дозволяється вилучати її після розрахунку середнього значення з результатів спостережень. Після вилучення відомих систематичних похибок знаходять середнє арифметичне виправлених результатів спостережень y_і, яке приймають за результат вимірювання

(1.11)

При цьому необхідно пересвідчитись, що серед результатів спостере-жень немає аномальних, тобто таких, що містять надмірну похибку. Як пра-вило, підозра падає на результати, які різко відрізняються від інших. Однак відкидати такі результати без попередньої перевірки можна лише в тому випадку, коли відома причина виникнення надмірної похибки, так як в ін-шому разі можуть бути відкинуті результати, які не містять надмірної по-хибки, а є проявом закономірностей розсіювання.

Найнадійнішим методом виключення аномальних результатів є відки-дання підозрілих результатів, коли для цього існують достатні підстави в процесі експерименту. Однак іноді цей момент не враховують і помилки доводиться виявляти після проведення експерименту. В тому випадку, ко-ли відомо що закон розподілу результатів спостережень – нормальний, можна скористатись правилом 3, згідно з яким результат спостереження з імовірністю 0.9973 не повинен відрізнятись від середнього на величину, яка перевищує 3, де  - середнє квадратичне відхилення результатів спо-стережень або його оцінка.

Перевірку нормальності розподілу слід проводити для виправлених результатів вимірювань, оскільки наявність в результатах спостережень змінної систематичної похибки призводить до того, що малі похибки спо-стерігаються рідше, а великі частіше ніж в дійсності, тобто розподіл ви-дозмінюється.

При кількості спостережень:

n>50 для перевірки рекомендується скористатись критерієм ² Пірсона чи ² Мізеса – Смирнова;

50>n>15 - складеним критерієм, який наведений в додатку

ГОСТ 8.207-76 - критерієм Фішера;

n<15 перевірку не проводять, тому що надійність отриманого ре-зультату є низькою. В цьому випадку інформація про вид розподілу ре-зультатів спостережень повинна бути відома попередньо.

Якщо гіпотеза про нормальність розподілу не буде відкинута, то по-дальшу обробку проводять, як правило, згідно з ГОСТ 8.207-76.

Подальшим етапом обробки результатів спостережень є розрахунок оцінки середнього квадратичного відхилення випадкової похибки серед-нього арифметичного та довірчих границь випадкової похибки (якщо об-робка проводиться за ГОСТ 8.207-76). Статистична оцінка середнього ква-дратичного відхилення середнього арифметичного визначається як

. (1.12)

Якщо результати спостережень розподілені нормально, можна знай-ти довірчі границі ε випадкової похибки результату вимірювання за фор-мулою [10]

ε = t_s S_x , (1.13)

де t_s - відповідний коефіцієнт Стьюдента для кількості ступенів свободи

п-1 і вибраної довірчої імовірності Р.

Далі оцінюють середнє квадратичне відхилення невиключеної систе-матичної похибки _с результату вимірювання. Невиключена систематична похибка результату вимірювання може містити складові, серед яких мо-жуть бути невиключені систематичні похибки методу, засобу вимірюваль-ної техніки та оператора або похибки, викликані іншими джерелами. Їх, як і похибки поправок, розглядають як випадкові величини. Якщо при цьому складові невиключеної систематичної похибки можна вважати незалеж-ними, то

, (1.14)

де _i - оцінка середнього квадратичного відхилення і-ої складової невик-люченої систематичної похибки. У випадку, коли дані про вид розподілу випадкових величин відсутні, їх розподіл приймають за рівномірний. На-приклад, якщо одна з невиключених складових систематичної похибки – похибка вимірювального приладу, то в якості її меж приймають межі до-пустимих основних та додаткових похибок за умови, що випадковою скла-довою похибки засобу можна знехтувати.

Оцінку середнього квадратичного відхилення сумарної похибки ре-зультату вимірювання знаходять за формулою

. (1.15)

В разі необхідності розраховують довірчі границі похибки результа-ту вимірювання:

, (1.16)

де k(P) - коефіцієнт, значення якого залежить від вибраної довірчої імо-вірності та виду закону розподілу сумарної похибки.

Вид розподілу сумарної похибки може бути встановлений шляхом побудови композиції розподілів випадкової і невиключених систематичних похибок, які розглядаються як випадкові величини. Побудова композиції полягає в послідовному згортанні розподілів складових похибки. Спочатку знаходять композицію двох законів, потім композицію знайденої компо-зиції з третім і так далі. Якщо відомі щільність розподілу f₁(₁) і f₂(₂) скла-дових ₁ і ₂ похибки, то композицію їх законів розподілу f(), тобто щіль-ність розподілу суми  =₁+₂, знаходять за формулою

(1.17)

Знаходження композиції законів розподілу часто є достатньо склад-ною математичною задачею, тому використовують інші аналітичні чи чис-лові методи. Зокрема, в багатьох випадках можна використати наближення центральної граничної теореми теорії ймовірності, згідно з якою похибка, якщо вона є сумою достатньо великої кількості складових і внесок кожної складової невеликий в порівнянні з сумою, то сумарний розподіл буде нор-мальним. У цьому випадку, коли відоме середнє квадратичне відхилення сумарної похибки _ , довірчі границі похибки можна розрахувати за формулою

, (1.18)

де t - квантіль нормального розподілу.

Якщо похибка вимірювання визначається випадковою похибкою, то як довірчі границі похибки можна прийняти довірчі границі випадкової похибки результату вимірювання.

В тому випадку, коли результати спостережень розподілені нормаль-но, а не виключені систематичні похибки - рівномірно, то згідно з ГОСТ 8.207 коефіцієнт k(P) може бути знайдений за емпіричною форму-лою

(1.19)

Тут (Р) - довірчі межі невилученої систематичної похибки резуль-тату вимірювання, які розраховуються за формулою

, (1.20)

де _і -границя і-ої невилученої систематичної похибки;

К - коефіцієнт, значення якого залежить від прийнятої довірчої ймо-вірності (так К=1,1 при Р=0,95). При P = 0,99 значення К знаходять за графіком, наведеним в ГОСТ 8.207.

Як правило, оцінка середнього квадратичного відхилення і довірчих меж похибки із-за браку інформації є оцінкою зверху. Це може призвести до того, що довірчий інтервал похибки виявиться більш широким, ніж отриманий арифметичним додаванням модулів граничних значень всіх складових похибки вимірювання. Тому після розрахунку довірчого інтер-валу похибки, доцільно отриманий результат порівняти з арифметичною сумою модулів довірчих границь цих же складових і за кінцеву оцінку прийняти більш вузький інтервал.

Зазначимо, що за вищеописаною процедурою довірчий інтервал похиб-ки розраховується з імовірністю Р<1. Якщо потрібно знати довірчий інтервал з Р=1, то потрібно користуватися іншим методом. Такий метод може поляга-ти, зокрема, в арифметичному додаванні модулів максимально можливих зна-чень складових похибки. Часто такий розрахунок дає завищене значення, ос-кільки малоймовірно, що на практиці всі складові приймуть максимально мож-ливі значення, до того ж з однаковим знаком. Однак, якщо вимірювання особ-ливо відповідальні, тобто мають винятково важливе значення для здоров’я чи життя людей, і ні в якому разі не можна допустити, щоб розраховане значення похибки було менше від дійсного при вимірюванні, такий підхід є цілком виправданим.