5. Однофакторний аналіз

Розглянемо вплив лише одного фактора х.

Таблиця 2.1 - Результати експерименту

№ l дублюючого досліду номер j рівня фактора х	1 2 … l … m
1	2	3
1	y11 y12 … y1l … y1m
2	y21 y22 … y2l … y2m
…	...	…
J	yj1 yj2 … yjl … yjm
…	…	…
u	yu1 yu1 … yul … yum

В таблиці 2.1 записані результати експерименту (um) спостере-жень. Індекс j - порядковий номер рівня варіювання фактора, l - по-рядковий номер дублюючого досліду в серії на кожному j-му рівні, (для спрощення розрахунків, не порушуючи загальності вис-новків, розглянемо спочатку випадок рівно кількісних спостережень на всіх рівнях, тобто m₁= m₂=…= m_j=…= m_u=m).

За такого розташування спостережень розсіювання між стовпцями буде визначатися помилкою відтворення, а розсіювання між рядками – до-датковою дією досліджуваного фактора.

Розрахуємо середнє арифметичне серій із m повторних спостере-жень для кожного j-го рівня фактора

(2.5)

і загальне середнє арифметичне у всіх u·m спостережень за всіма u рівнями

. (2.6)

Розсіювання окремих спостережень відносно загального середнього обумовлено дією випадкових причин і впливом факторів. Дія фактора випадковості проявляється (з дисперсією ² ) в розсіюванні спостережень серій дублюючих дослідів на кожному рівні х навколо середнього ариф-метичного своєї серії.

Вплив фактора х (з дисперсією _х²) викликає підвищене розсіюван-ня середніх серій відносно загального середнього. Кожне з цих трьох роз-сіювань можна охарактеризувати відповідною сумою квадратів відхилень.

2.1.6 Розкладання сум квадратів

Відповідно до основної ідеї дисперсійного аналізу розкладемо суму квадратів відхилень спостережень від загального середнього на дві скла-дові суми, одна з яких буде характеризувати вплив фактора випадковості, а друга - фактора мінливості х.

(2.7)

,

оскільки

, (2.8)

а

,

як сума відхилень спостережень j-ї серії від середнього тієї самої серії, де

(2.9)

- “загальна” сума квадратів відхилень окремих спостережень від загального середнього . Ця сума характеризує розсіювання спостережень в результаті дії обох факторів як випадковості (з дисперсією ²), так і досліджуваного x (з дисперсією ²).

(2.10)

- сума квадратів відхилень "в середині серій", тобто сума квадратів роз-ходжень між окремими спостереженнями і середнім відповідної се-рії. Ця сума характеризує залишкове розсіювання випадкових похибок дос-віду, тобто їхнє відтворення (з дисперсією ²).

(2.11)

- сума квадратів відхилень "між серіями" або розсіювання за рівнями, тобто зважена (з урахуванням кількості спостережень в кожній серії) сума квадратів різниць між середнім окремих серій і загальним середнім всієї сукупності спостережень. Сума характеризує розсіювання серед-ніх серій за рахунок випадкових причин (з дисперсією для середніх серій) і досліджуваного фактора (з дисперсією ).