
- •1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- •1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- •2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- •2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- •3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- •3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- •Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- •Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- •5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- •5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- •6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- •7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- •7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- •8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- •8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- •9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- •9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- •10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- •21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- •21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.
7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- квадратная невырожденная матрица.
Число
-собственное значение
,
если существует такой ненулевой вектор
,
удовлетворяющий равенству
(1). Сов-ть всех собственных значений -
спектр. Вектор
,
удовлетворяющий (1) - собственный вектор
. Уравнение
(1) имеет нетривиальные решения
(2)
Функция
- характеристический многочлен
матрицы. Множество его корней совпадает
со спектром.
Прямой метод вычисления собственных значений:
В прямом методе получают хар-е ур-е в аналитическом виде или определяют алгоритм выч-я коэфф-в уравнения, потом решают это ур-е одним из численных методов.
det(A-λE)
= D(λ ) может быть представлен в виде
D(λ ) =
- сумма всех диагональных миноров первого
порядка матрицы А.
- cумма всех диагональных
миноров второго порядка.
.
Вычислив
,
находим корни полинома одним из численных
методов.
Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или блочно-диагональному виду. Поскольку преобразование подобия не меняет спектр матрицы, то применение такого рода преобразований во многих случаях приводит к решению полной проблемы собственных значений. Наиболее эффективны преобразования подобия в случае симметричных матриц.
Однако во многих случаях достаточно предположить, что среди собственных значений матрицы отсутствуют кратные. В этом случае существует преобразование подобие, приводящее матрицу к диагональному виду.
Способ
построения преобразования подобия:
исп-е элем-х матриц плоских вращений
:
(3)
Матрица
(для определенности пусть
)
отличается от единичной матрицы только
элементами
и
.
- ортогональные =>
-
преобразование плоских вращений,
является преобразованием подобия. При
умножении матрицы слева (справа) на
новая матрица отличается от исходной
лишь эл-ми строк с номерами
и
(столбцами). Полагая
,
рассмотрим произведения:
:
,
:
.
Определим
угол вращения таким образом, чтобы
.
.
Используя тригонометрические тождества, имеем:
,
. (4)
При
выбранном угле поворота в результате
преобразования
уменьшается общая сумма квадратов
недиагональных элементов результирующей
матрицы. Многократное применение такого
рода преобразования с матрицами вращения
:
на текущем шаге
,
приводит к сходимости последовательности
матриц
,
к
матрице диагонального вида, при этом
на диагонали новой матрицы будут
находиться приближенные значения
собственных чисел исходной матрицы
.
Метод Данилевского: Большая погрешность, но большая скорость получения результата.
Метод основан
на известном факте из линейной алгебры
о том, что преобразование подобия
не
меняет характеристического многочлена
матрицы
,
т.к.
.
(=>
при записи характер-го уравнения на
него сокращаем).
Приводим
матрицу
с помощью преобразования подобия
к
так называемой канонической форме
Фробениуса:
Для
матрицы
характеристический
многочлен может быть легко записан,
если последовательно разлагать
определитель
по элементам первого столбца =>
=> элементы
1-й строки
являются
коэффициентами её собственного многочлена
=> собственного многочлена матрицы
.
и
связаны
между собой:
Решив
полученное уравнение,
находим собственные значения матрицы
.
Далее, неособенная матрица
,
полученная в методе Данилевского,
используется при нахождении собственных
векторов матрицы
.
Построение матрицы
в
методе Данилевского осуществляется
последовательно с помощью
преобразований
подобия, которые переводят строки
матрицы
,
начиная с последней, в соответствующие
строки матрицы
.