Введение

В настоящее время при исследовании конкретных систем применяют системный анализ – методологию исследования объектов с целью определения наиболее эффективных методов управления ими. Результатом системных исследований является принятие решений, выработка управляющих воздействий. Для этой цели используется математическая теория принятия решений. Принятие решений осуществляется на основе критериев качества функционирования систем.

Для применения количественных методов исследования необходимо построение математической модели системы, которая включает математическую формулировку цели и систему ограничений.

Нахождение оптимального решения (управления) осуществляется с помощью методов математического программирования. Если критерий и ограничения линейны, то применяются методы линейного программирования – одного из разделов математического программирования.

Цель данного пособия – объяснить сущность линейного программирования, как одного из важнейших методов системного анализа, показать его применение к решению технико-экономических задач планирования.

Пособие содержит краткое изложение теоретических сведений, типовые примеры, иллюстрирующие сущность изучаемых методов, а также варианты заданий для выполнения контрольной работы по всем изучаемым темам данной дисциплины.

Рекомендации по выполнению контрольной работы

Контрольную работу необходимо выполнить в отдельной ученической тетради, на внешней обложке которой необходимо указать изучаемую дисциплину, номер академгруппы, фамилию и инициалы студента, номер варианта заданий.

Условия задач нужно переписывать полностью. Решение каждой задачи должно содержать исчерпывающие объяснения, все расчеты должны быть записаны в тетради без сокращений.

Выполнение задания обязательно должно содержать построение математической модели, название метода, каким решается задача, полный ответ и содержательную интерпретацию полученного решения.

В случае незачтенной работы необходимо при исправлении ошибок учесть замечания преподавателя и предоставить работу на повторную проверку в той же тетради.

Работа должна быть выполнена самостоятельно. Если установлено, что работа сделана несамостоятельно, то она не засчитывается, даже если все задачи решены правильно.

Преподаватель может провести собеседование по контрольной работе. При этом необходимо показать теоретические знания, владение терминологией и умение решать задачи по данной теме.

Контрольная работа предусматривает выполнение 5 заданий определенного варианта.

Номер варианта заданий определяется по предпоследней и последней цифре учебного шифра с помощью таблицы 1.

Таблица 1

Последняя цифра учебного шифра	Варианты заданий
	Предпоследние цифры учебного шифра
	1, 2, 3	4, 5, 6	7, 8, 9, 0
1	1	11	21
2	2	12	22
3	3	13	23
4	4	14	24
5	5	15	25
6	6	16	26
7	7	17	27
8	8	18	28
9	9	19	29
0	10	20	30

1. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1. Формализация задачи линейного программирования,

решаемой графическим методом

Пусть дана задача линейного программирования (ЗЛП) с целевой функцией

z = c₁x₁ + c₂x₂

и ограничениями в виде неравенств

x₁  0, x₂  0.

Необходимо среди допустимых решений системы найти такое, которое обращает в максимум или минимум целевую функцию.

Уравнения вида a_i1x₁ + a_i2x₂ = b_i на плоскости x₁Оx₂ определяют прямую, разбивающую всю плоскость на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям.

Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству

a_i1x₁ + a_i2x₂ ≤ b_i .

Координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству

a_i1x₁ + a_i2x₂  b_i .

Пересечение конечного числа полуплоскостей, заданных неравенствами системы, образует область допустимых решений.

Поставленной задаче можно дать следующую интерпретацию. Среди всех точек области допустимых решений найти такую, которая обращает в максимум или минимум целевую функцию.

Для нахождения максимума или минимума функции z используется градиент целевой функции = (c₁; c₂). Он указывает направление наибольшего возрастания целевой функции.

Выберем произвольное значение с₀. Получим уравнение прямой с

c₁x₁ + c₂x₂ = c₀

из семейства параллельных прямых, перпендикулярных вектору-градиенту = (c₁; c₂). Прямые такого вида называются линиями уровня.

Перемещая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора-градиента = (c₁; c₂), можно найти предельный вариант в заданной области.

Решением задачи на максимум является наиболее удаленная крайняя точка, в которой линия уровня встречается с областью допустимых значений при перемещении в направлении вектора = (c₁; c₂). Если задача сформулирована на минимум целевой функции, то решением задачи является крайняя точка, в которой прямая с встречается с областью допустимых решений при параллельном перемещении в направлении, противоположном направлению вектора = (c₁; c₂).