Решение.

Составим математическую модель задачи. Обозначим x₁, x₂, x₃ соответственно количество изделий видов А, В, С.

Учитывая количество ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также их наличие, составим систему ограничений:

2x₁ + 4x₂ + 3x₃  48,

4x₁ + 2x₂ + 3x₃  60,

3x₁ + 0x₂ + x₃  36.

Количество изделий каждого вида не может быть отрицательной величиной:

x₁  0, x₂  0, x₃  0.

Критерием оптимальности является прибыль предприятия. Она определяется как сумма произведений прибыли от единицы изделия каждого вида на количество изделий. При этом суммарная прибыль должна быть максимальна:

z = 6x₁ + 4x₂ +3x₃ → max.

В целом математическая модель задачи имеет вид:

z = 6x₁ + 4x₂ +3x₃ → max

x₁  0, x₂  0, x₃  0.

Приведем стандартную ЗЛП к ЗЛП в каноническом виде путем введения дополнительных переменных x₄, x₅, x₆:

z = 6x₁ + 4x₂ +3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ → max

x₁  0, x₂  0, x₃  0, x₄  0, x₅  0, x₆  0.

Сведем полученные данные в симплексную таблицу 3.

Базисными переменными являются переменные x₄, x₅, x₆.

Свободными переменными являются переменные x₁, x₂, x₃.

Элементами оценочной строки являются коэффициенты при переменных в целевой функции, взятые с противоположными знаками.

Таблица 3

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные			Симплексные отношения
		х1	х2	x3
х4	48	2	4	3	24
х5	60	4	2	3	15
х6	36	3	0	1	12
Оценочная строка	0	–6	–4	–3	–

Проверим критерий оптимальности. Так как задача решается на нахождение максимума и в оценочной строке есть отрицательные элементы, то опорный план не является оптимальным. Он может быть улучшен путем введения в базис переменной x₁, которой соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка –6. Поэтому столбец, соответствующий переменной x₁, является разрешающим.

Найдем симплексные отношения путем деления свободных членов на соответствующие элементы разрешающего столбца. При этом учитываем только неотрицательные соотношения:

.

Строка, содержащая минимальное симплексное отношение, является разрешающей. Следовательно, из базиса выводим переменную x₆.

На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца выделяем разрешающий элемент a₃₁ = 3.

Учитывая, что в следующей симплексной таблице переменные x₁ и x₆ поменяются местами, построим новую таблицу 4.

В клетке новой таблицы, соответствующей разрешающему элементу, записываем обратную величину 1/3.

Все остальные элементы третьей строки в новой таблице вычислим делением соответствующих элементов исходной таблицы на разрешающий элемент.

Таблица 4

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные			Симплексные отношения
		x6	x2	x3
x4	24	–2/3	4	7/3	6
x5	12	–4/3	2	5/3	6
x1	12	1/3	0	1/3	–
Оценочная строка	72	2	–4	–1	–

Все остальные элементы первого столбца новой таблицы вычислим делением соответствующих элементов исходной таблицы на разрешающий элемент с изменением знака частного на противоположный:

.

Остальные элементы новой симплексной таблицы 4 вычислим по правилу прямоугольника:

Применяя описанный выше алгоритм, построим новую симплексную таблицу (таблица 5).

Таблица 5

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные			Симплексные отношения
		x6	x4	x3
x2	6	1/6	1/4	7/12
x5	0	–1	–1/2	1/2
x1	12	1/3	0	1/3
Оценочная строка	96	4/3	1	4/3

В оценочной строке новой таблицы нет отрицательных элементов. Это означает, что соответствующее базисное решение x₂ = 6; x₅ = 0; x₁ = 12; x₆ = 0; x₄ = 0; x₃ = 0 является оптимальным.

Соответствующее значение целевой функции z_max = 96.

Таким образом, необходимо производить 12 изделий вида А, 6 изделий вида В; изделия вида С производить нецелесообразно. При этом максимальная прибыль от реализации продукции составит 96 ден. ед.