2. Типовой пример

Дана следующая содержательная постановка задачи.

Цех выпускает два вида продукции (обозначим их А и В). Производственное оборудование цеха состоит из трех видов (обозначим их I, II, III). Использование оборудования различных видов на производство единицы продукции видов А и В (в часах), а также общий резерв использования оборудования (в часах) представлены в таблице 2.

Таблица 2

Станки	Затраты времени работы оборудования		Резерв использования оборудования
	А	В
I	0,4	0,8	320
II	0,8	0,4	320
III	0,2	0,24	120

Прибыль от реализации единицы готовой продукции А составляет 3 ден. ед., а продукции В – 6 ден. ед.

Продукции вида А должно быть произведено не менее 200 единиц, вида В – не менее 100 единиц. Составить план производства продукции видов А и В, обеспечивающий максимальную прибыль.

Задачу решить модифицированным симплекс-методом.

Решение.

Составим математическую модель задачи.

Пусть х₁, х₂ – количество продукции видов А и В соответственно.

Сформулируем условия задачи.

1. Ограничения по затратам времени работы оборудования различных видов:

0,4 х₁ + 0,8х₂ ≤ 320;

0,8 х₁ + 0,4х₂ ≤ 320;

0,2 х₁ + 0,24х₂ ≤ 120.

2. Ограничения по выпуску продукции:

х₁ ≥ 200; х₂ ≥ 100.

3. Целевая функция:

z = 3x₁ + 6x₂ → max.

Запишем условия задачи в каноническом виде с помощью дополнительных переменных x₃, x₄, x₅, x₆ x₇:

z = 3x₁ + 6x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ → max

В данной системе уравнений дополнительные переменные х₆ и х₇ имеют коэффициент «–1», поэтому построить первоначальную симплексную таблицу обычным способом невозможно. Для такого построения в четвертое и пятое уравнения введем искусственные переменные у₁ и у₂ с коэффициентами «+1».

В целевую функцию искусственные переменные у₁ и у₂ введем с очень большими по абсолютной величине отрицательными коэффициентами –М.

После добавления искусственных переменных формализованная задача примет следующий вид:

z = 3x₁ + 6x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ – My₁ – My₂ → max

0,4 х₁ + 0,8х₂ + х₃ = 320;

0,8 х₁ + 0,4х₂ + х₄ = 320;

0,2 х₁ + 0,24х₂ + х₅ = 120;

х₁ – х₆ + у₁ = 200;

х₂ – х₇ + у₂ = 100.

Рассматривая переменные х₃, х₄, х₅, у₁ и у₂ в качестве базисных, приравняем нулю остальные (свободные) переменные и получим первоначальное опорное решение:

х₃ = 320; х₄ = 320; х₅ = 120; у₁ = 200; у₂ = 100.

Оформим его в виде симплексной таблицы (таблица 3).

Таблица 3

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные				Симплексные отношения
		х1	х2	х6	x7
х3	320	0,4	0,8	0	0	800
х4	320	0,8	0,4	0	0	400
х5	120	0,2	0,24	0	0	600
y1	200	1	0	–1	0	200
y2	100	0	1	0	–1	–
Оценочная строка (m+1)-я	0	–3	–6	0	0	–
(m+2)-я строка	–300	–1	–1	1	1	–

В (m+2)-й оценочной строке стоят суммы коэффициентов при свободных переменных в четвертой и пятой строках (эти строки соответствуют искусственным переменным y₁ и y₂), взятые с отрицательными знаками.

Поскольку задача решается на максимум, то критерием оптимальности является отсутствие отрицательных величин в (m+2)-й строке. В данном случае (m+2)-й строке есть отрицательные оценки, поэтому опорный план не является оптимальным и может быть улучшен.

Столбец, содержащий переменную x₁, выбирем разрешающим, так как он содержит отрицательную оценку «–1» в (m+2)-й строке.

Разрешающую строку определим по минимальному симплексному отношению. Разрешающей будет строка, содержащая переменную y₁, которой соответствует минимальное симплексное отношение 200.

Разрешающий элемент, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, равен 1.

В новой симплексной таблице переменная y₁ переходит в число свободных переменных и далее не учитывается. При этом соответствующий столбец исключается из таблицы. Переменная x₁ переходит в число базисных. Обычным способом осуществляем переход к новой симплексной таблице (таблица 4).

Таблица 4

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные			Симплексные отношения
		х2	х6	x7
х3	240	0,8	0,4	0	300
х4	160	0,4	0,8	0	400
х5	80	0,24	0,2	0	333,(3)
x1	200	0	–1	0	–
y2	100	1	0	–1	100
Оценочная строка (m+1)-я	600	–6	–3	0	–
(m+2)-я строка	–100	–1	0	1	–

В (m+2)-й строке есть отрицательная оценка «–1», поэтому опорный план не является оптимальным и может быть улучшен. При этом разрешающим столбцом является столбец, содержащий переменную x₂, разрешающей строкой является строка, содержащая переменную y₂, разрешающий элемент равен 1.

Рассчитываем новую симплексную таблицу (таблица 5). В ней переменная x₂ перейдет в число базисных, а y₂ – в число свободных и записываться не будет. Так как искусственные переменные будут исключены из таблицы, то (m+2)-я строка будет содержать только нули и в таблицу не заносится.

Таблица 5

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные		Симплексные отношения
		x6	x7
х3	160	0,4	0,8	200
х4	120	0,8	0,4	300
х5	56	0,2	0,24	233,(3)
x1	200	–1	0	–
x2	100	0	–1	–
Оценочная строка (m+1)-я	1200	–3	–6	–

Таблица 5 – обычная симплексная таблица. Так как в оценочной строке есть отрицательные оценки, то опорный план не является оптимальным. Осуществляя один шаг последовательного улучшения опорного плана симплекс-методом, получим таблицу 6.

Таблица 6

Базисные переменные	Свободные члены	Свободные переменные		Симплексные отношения
		x6	x3
y2	200	0,5	1,25
х4	40	0,6	–0,5
х5	8	0,08	–0,3
x1	200	–1	0
x2	300	0,5	1,25
Оценочная строка (m+1)-я	2400	0	7,5

В оценочной строке таблицы 6 нет отрицательных элементов. Это означает, что соответствующее базисное решение x₁ = 200; x₂ = 300; x₃ = 0; x₄ = 40; x₅ = 8; x₆ = 0; x₇ = 200 является оптимальным. Соответствующее значение целевой функции z_max = 2400.