2.2. Алгоритм симплекс-метода

Пусть рассматриваемая ЗЛП решается на нахождение максимума целевой функции.

Алгоритм симплекс-метода состоит в выполнении следующих шагов.

1. Составить первую симплекс-таблицу, исходя из условий задачи.

2. Проверить критерий оптимальности. Если он выполняется, то опорный план является оптимальным, т.е. он имеет значение = (0, 0, …, 0, b₁, b₂, …, b_m). Соответствующее значение целевой функции определяется соотношением z = z₀.

Если в оценочной строке есть отрицательные элементы, то опорный план не является оптимальным и может быть улучшен путем введения в базис новой переменной.

3. Определить переменную, которую необходимо ввести в базис. Для этого в оценочной строке определить наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент. Столбец, содержащий наибольшую по абсолютной величине отрицательную оценку, помечается стрелкой и называется разрешающим столбцом (s-й столбец). Он помечается вертикальной стрелкой.

4. Вычислить симплексные отношения, разделив свободные члены на соответствующие коэффициенты выделенного столбца . При этом учитываются только неотрицательные отношения. Записать их в соответствующий столбец таблицы.

5. Определить переменную, которую необходимо вывести из базиса. Для этого определяется строка, содержащая наименьшее симплексное отношение. Она помечается стрелкой. Эта строка является разрешающей (r-я строка).

6. Выделить разрешающий элемент, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца.

7. Перейти к новой симплексной таблице, в которой переменные x_r и x_s меняются местами.

8. Заполнить клетки новой симплексной таблицы следующим образом.

• В клетке, соответствующей разрешающему элементу старой таблицы, записать обратную величину .

• Все остальные элементы r-й строки вычислить делением соответствующих элементов старой таблицы на разрешающий элемент:

.

• Все остальные элементы s-го столбца вычислить делением соответствующих элементов старой таблицы на разрешающий элемент с изменением знака частного на противоположный:

.

• Остальные элементы новой симплексной таблицы вычислить по правилу прямоугольника:

.

• Столбец симплексных отношений остается незаполненным. Он заполняется при необходимости перехода к новой симплексной таблице.

9. Перейти к пункту 2.

3. Типовой пример

Пусть дана следующая содержательная постановка задачи.

Для изготовления трех видов изделий, которые обозначим А, В, С, используется три вида ресурсов; их обозначим I, II, III. Затраты ресурсов каждого вида на производство одного изделия видов А, В, С в относительных единицах, объем имеющихся ресурсов каждого вида, а также прибыль от реализации единицы готового изделия всех видов в денежных единицах (ден. ед.) представлены в таблице 2.

Таблица 2

Виды ресурсов	Затраты по видам ресурсов на единицу продукции			Объемы имеющихся ресурсов
	А	В	С
I	2	4	3	48
II	4	2	3	60
III	3	0	1	36
Прибыль от реализации	6	4	3	–

Составить план производства изделий А, В, С, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Задачу решить симплексным методом.