5. Открытая модель транспортной задачи

5.1. Постановка и методика решения открытой транспортной задачи

Любая транспортная задача, у которой суммарная величина запасов равна суммарному объему потребления, называется закрытой и всегда имеет решение. В противном случае задача называется открытой. Открытая задача решается приведением к закрытой.

Для открытой задачи возможны два случая:

1. Запасы превышают потребности:

.

В этом случае в рассмотрение вводится фиктивный потребитель с потребностями:

.

Для этого в распределительную таблицу добавляется столбец с индексом

n + 1.

2. Потребности превышают запасы:

.

В этом случае в рассмотрение вводится фиктивный поставщик с запасами

.

Для этого в распределительную таблицу добавляется строка c индексом

m + 1.

В обоих случаях стоимость перевозки единицы груза от фиктивного потребителя к поставщику или от фиктивного поставщика к потребителю полагают заведомо равным большому числу (например 100), чтобы исключить возможность перевозок по фиктивному маршруту.

5.2. Типовой пример

Дана следующая содержательная постановка задачи.

Из трех песчаных карьеров необходимо вывезти песок на три строительных участка. Объем песка в карьерах (в тоннах), потребности строительных участков (в тоннах) и себестоимость перевозки одной тонны песка от каждого песчаного карьера к каждому строительному участку (в ден. ед.) представлены в таблице (таблица 1).

Таблица 1

Карьеры	Строительные участки			Объемы песка в карьерах
	1-й	2-й	3-й
I	2	4	6	2000
II	8	4	1	1000
III	3	2	5	500
Потребности участков	1200	1100	600	3500 2900

Требуется составить такой план перевозок, чтобы общие затраты на перевозку песка от песчаных карьеров к строительным участкам были минимальными.

Решение.

Поскольку объем песка в карьерах превышает потребности строительных участков, необходимо ввести фиктивного потребителя с потребностью

b₄ = 3500 – 2900 = 600 т.

Стоимость перевозки тонны песка от всех поставщиков к фиктивному потребителю полагаем равной 100. В таблице 2 построен первоначальный опорный план методом наилучшего элемента.

Таблица 2

Карьеры	Участки				Наличие на складах
	1-й	2-й	3-й	Фиктивный
I	1200 2	600 4	-- 6	200 100	2000
II	– 8	-- 4	600 1	400 100	1000
III	– 3	500 2	-- 5	– 100	500
Потребности участков	1200	1100	600	600	3500

Вычислим потенциалы строк и столбцов из системы уравнений для занятых клеток:

v₁ – u₁ = 2;

v₂ – u₁ = 4;

v₄ – u₁ = 100;

v₃ – u₂ = 1;

v₄ – u₂ = 100;

v₂ – u₃ = 2.

Полагая u₁ = 0, найдем потенциалы:

v₁ = 2;

v₂ = 4;

v₄ = 100;

u₂ = v₄ – 100 = 0;

v₃ = 1;

u₃ = 4 – 2 = 2.

Вычислим оценки свободных клеток полученной таблицы:

w₁₃ = 6 – (1 – 0) = 5;

w₂₁ = 8 – (2 – 0) = 6;

w₂₂ = 4 – (4 – 0) = 0;

w₃₁ = 3 – (2 – 3) = 2;

w₃₃ = 5 – (1 – 2) = 6;

w₃₄ = 100 – (100 – 2) = 2.

Так как среди оценок нет отрицательных, то первоначальный опорный план

является оптимальным.

Значение целевой функции z_min = 1200·2 + 600·4 + 600·1 + 500·2 = 6400 (ден.ед.).