12 Определение устойчивости сар по критерию Шура - Кона

Для устойчивости ДСАУ n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы n определителей, составленных из коэффициентов Z-ХУ

были положительными.

Правило составления определителей:

, где m=1, 2, … , n

, - транспонированные матрицы.

; ;;.

ХУ имеет вид:

С помощью среды MathCAD произведем следующие действия:

; ;;;

; ; ;

Как видно, все определители больше нуля. Таким образом, можно сделать вывод, что по критерию Шура-Кона данная САР устойчива.

13 Определение устойчивости сар по аналогу критерия Михайлова

Для устойчивости ДСАР необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора ХУ при изменении частоты от 0 до/T, начинаясь на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно и монотонно в положительном направлении 2n квадратов, где n – это степень ХУ.

Степень ХУ – 4, таким образом, годограф должен пройти квадрантов.

Для построения кривой Михайлова в дискретной системе необходимо в ХУ произвести замену :

В полученном выражении выделим вещественную и мнимуючасти с использованием формулы Эйлера:

Воспользуемся формулой Эйлера, тогда из полученного характеристического уравнение выделим действительную и мнимую часть.

Тогда на диапазоне частот от получим численное значение действительной и мнимой частей, приведенных в таблице 1.

Таблица 1

По данным таблицы 1 строим годограф Михайлова (рисунок 13.1):

Рисунок 13.1 - График кривой Михайлова

Так как кривая Михайлова (рисунок 13.1), начинаясь на положительной полуоси, обходит восемь квадрантов в положительном направлении, то данная ДСАУ по аналогу критерия Михайлова устойчива.

14 Определение устойчивости сар по аналогу критерия Найквиста

Если разомкнутая дискретная система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора , при изменении частоты ω от, не охватывал точку с координатами (-1;j0).

Для построения АФХ разомкнутой ДСАР необходимо в Z-ПФ разомкнутой системы произвести подстановку:

В полученном выражении выделим вещественную и мнимуючасти с использованием формулы Эйлера:

Тогда ПФ разомкнутой ДСАР примет вид:

Задаваясь значениями частоты от 0 до, вычисляются соответствующие значения вещественнойи мнимойчастей частотной функции и на комплексной плоскости строится АФХ разомкнутой САР.

Численное значение действительной и мнимой частей приведены в таблице 2.

Таблица 2

По данным таблицы 2 строим АФХ (рисунок 14.1):

Рисунок 14.1 - График АФХ

Определим запасы устойчивости по АФХ (рис. 14.1):

Запас по амплитуде это величина обратная величине радиус вектора выходящего с начала координат в точку пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса на отрицательной вещественной полуоси.

По фазе это угол между этим радиусом проведенным через точку пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса и отрицательной вещественной полуоси.

Так как годограф вектора (рисунок 14.1) при изменении частотыw от 0 до /T не охватывает точку (-1;j0) – данная ДСАУ по аналогу критерия Найквиста устойчива.