9 Определение устойчивости дискретной сар по z-корневому критерию

Устойчивость САР – это способность системы возвращаться в исходное равновесное состояние или занимать новое состояние равновесия после прекращения действия внешнего возмущения.

Сущность корневого критерия состоит в том, что ДСАР будет устойчивой, если все корни Zi характеристического уравнения по модулю меньше единицы | Zi | < 1, то есть если корни ХУ на комплексной плоскости (Z – плоскости) будут лежать внутри круга единичного радиуса. Система, не удовлетворяющая этому условию, является неустойчивой.

Приравнивая знаменатель Z-ПФ замкнутой ДСАР к нулю, получим ХУ:

.

Корни данного ХУ:

Расположения корней устойчивой дискретной САР в плоскости Z показано на рисунке 9.1.

Рисунок 9.1 - Расположение корней характеристического уравнения

на комплексной плоскости Z

Следуя с условия корневого критерия, данная САР является устойчивой, так как все корни характеристического уравнения попали в единичную окружность и модуль | Zi | < 1.

10 Определение устойчивости по w-корневому критерию. Определение косвенных показателей качества

Для устойчивости ДСАР необходимо и достаточно чтобы все корни w- преобразованного уравнения были отрицательными, а все комплексные корни имели отрицательную вещественную часть.

Согласно теории функций комплексного переменного с помощью билинейного преобразования

единичный круг в комплексной плоскости Z отображается в левую часть комплексной плоскости w. Поэтому в характеристическом уравнении:

Вместо Z подставляем в ХУ САР выражение . Получаем:

После приведения к общему знаменателю и его отбрасывания получаем новое w-характеристическое уравнение того же порядка:

Используя программу “Mathcad” находим корни характеристического уравнения:

;

Изобразим корни преобразованного характеристического уравнения на комплексной w-плоскости и определим косвенные показатели качества (рисунок 10.1):

Рисунок 10.1 - Корни характеристического уравнения

на комплексной w-плоскости

Чтобы определить косвенные показатели качества, необходимо построить расположение ближайшего к мнимой оси корня или комплексно сопряженных корней. Мерой запаса устойчивости системы или косвенными показателями есть:

1. степень устойчивости, h=0.043;

2. степень колебательности, , где

φ - это угол, образуемый лучами, проведёнными из начала координат через ближайшие к мнимой оси комплексные сопряжённые корни.

Так как все корни w-преобразованного уравнения отрицательны

(лежат в отрицательной части вещественной оси), что соответствует условиям устойчивости САР, то можно утверждать, что данная система устойчива по данному критерию. Благодаря применению w-преобразования все критерии устойчивости, разработанные для анализа непрерывных систем, могут быть использованы для анализа устойчивости дискретных систем.

11 Определение устойчивости дискретной сар по аналогу критерия Гурвица

Для устойчивости замкнутой САР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты w-ХУ уравнения были положительными и n определителей Гурвица, составленных из коэффициентов w-преобразованного ХУ

также были положительными.

Порядок составления определителя Гурвица:

Запишем w-ХУ:

Соответственно коэффициенты ХУ равны:

Найдем все определители:

;

;

;

Как видно, все определители, составленные из коэффициентов w - преобразованного ХУ, больше нуля. Таким образом, можно сделать вывод, что по аналогу критерия Гурвица данная САР устойчива.