Билет №52

Теорема о непрерыв.дифференцируемой ф-ии: Пусть ф-ия дифференц. В точке , тогда она непрерывна в этой точке.

Док-во: Пусть ф-ия дифференц., т.е. она представ. В виде . Если -бесконеч.малая, то все выражение тоже бесконеч.малое. И приращение тоже бесконеч.малое, знач. Ф-ия непрерывна(по определению).

Обратная Теорема НЕ ВЕРНА!!!

53 Вопрос.

Геометрический, механический, экономический смысл производной.

Пусть функция y= f(x) определена на промежутке Х. Возьмем точку х Х .Дадим значению х приращение ∆ х 0, тогда функция получит приращение Тогда производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует) .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.Геометрический смысл производной: производная f ‘ (x0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е. k=f’(x0) Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке ч0 примет вид y-f(x0)= f’(x0)(x-x0).Механический смысл производной: производна пути по времени s’(t0) есть скорость точки в момент . Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. Экономический смысл. V(t), t0 принадлежит (a,b). Тогда за время ∆ t предприниматель произведет продукции V(t0 + ∆ t) - V(t0).Средней производительностью труда называется отношение

54.

Функция	Производная	Функция	Производная
с	0	ctg x
xm	mxm-1	arc sin x
ax	ax×ln a	arc cos x
ex	ex	arc tg x
loga x		arc ctg x
ln x		sh x	ch x
sin x	cos x	ch x	sh x
cos x	- sin x	th x
tg x		cth x

№55 Теоремы о производных

Пусть ф-ция f(x) и g(x) дифференцируемы в (.)

Тогда:

1)

2)

3)

4)

Док-во:

Теор1

Чтд.

Теор 3.

По опр.производной

По теор об операциях над пределами

Чтд.

56билет.Производная сложной функции ~ Производная обратной функции Производная сложной функции.Пусть - функция, дифференцируемая в точке , - функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .Обычно называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Производная обратной функции.Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .