30.Комплексные числа в тригонометрической и показательной форме

Комплексные числа называют выражение вида z=x+iy,где х и у –действительные числа,а i-мнимая единица. Число х называется действительной частью числа z,а число у-мнимой частью числа z. Действительное число х является частным случаем комплексного при у=0.Комплексные числа являются действительными,т.е. при у не=0,называются мнимыми,а прих=0 у не=0,т.е. числа вида z =iy-чисто мнимыми. Комплексное число х-iу называют сопряженным с комплексным числом Z=x+iy и обозначается Z*=x-iy.Два комплексных числа называются равными,если равны их действительные и мнимые части.    Сложение(вычитание) z1+(-)z2=x1+(-)x2+i(y1+(-)y2)     Умножение z1z2= (x1x2-y1y2)+i(x1y2=x2y1)     Деление z1=(x1x2=y1y2)+i(x2y1-x1y2)               

)                     (между ними дробная черта) z2              x2+y2                        (z2 не=0)    (x2,у2 в квадрате)          Тригометрическая формой комплексного числа    r = /z/ больше или =0,ф=Аrg z.      Связь между тригометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.   е(в степени iф)=cosф+I sinф.От суда следует показательная форма комплексного числа  ( z=re В этих формах легко проводить операции умножение,деление,возведение в степень,извлечение корня из комплексных чисел.                   Модуль и аргумент комплексных чисел. С каждой точкой z (х,у) комплексной плоскости связан радиус-вектора этой точки Оz(вектор,сверху стрелочка),длина которого обозначается /z/                                 r =/z/= x2+y2(под корнем)      Угол ф,образованный радиусом-вектора Оz(вектор) с осью Ох,называется Аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. 31. ограничен.сверху(снизу), если существует такое число М(m), такое что, для любого х не превосходит М.

Всякое число М(m), ограничивающ.множество х сверху(снизу), наз.верхней (нижней) гранью множества х.

Множество наз.ограниченным, если оно огранич.и сверху и снизу.

Точной верхней гранью множества х обознач.супремум х, наз.наименьшая из верхних граней множества.

1)

2)

Точкой ниж.гранью inf x=m (инфимум)

1)

2)

=

Свойства:

1)

2)

3)

32.Понятие функции.График функции.

Определение.Если каждому элементу х множества Х(х принадлежит Х)ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества У(у принадл. У), то говорят, что на множества Х задана функция у=f(х)

При этом х называется независимой переменной (аргумент),у-зависимой переменной, а буква f обозначает знак соответствия.

Множество Х называется областью определения(существования)функции, а множество У-область значения функции.

Если множество Х специально не оговорено,то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х,т.е. множество таких значений х, при к-рых функция у=f(х) вообще имеет смысл.

Основные св-ва функции:1)четность нечетность 2)монотонность 3)ограниченность4)периодичность

33. N f(n); n принад.N---f(n)

Последовательность наз.ограниченной сверху(снизу), если множество ее значений огранич.сверху(снизу).

Последовательность ограниченная и сверху и снизу, газ.огранич.последовательностью.

Последовательность неограниченная сверху или снизу наз.бесконечно большой послед.

Последовательность наз.бесконечно большой, если для любого М больше 0 существ.N M бол.0 сущ.№N

Число а наз.пределом последовательности при n---к бесконечности, если для любого бол.0, существ.N . Предел стремящ.к бесконеч.=А, предел стремящ.к бескон.=1.

Док-во:

Если а является пределом , то говорят, что сходится к числу а. Последов.наз.бесконечно малой, если ее предел при =0

(-А) бескон.малая послед.; при

№ 34 билет. Теоремы о пределах последовательности

Пусть послед Xn имеет предел равный А ( ),а послед Yn имеет придел равный B ()

1.Сущ предел который равен сумме пределов ()

2.Предел произвед =произвед пределов

()

Следствие ,те постоянную с можно выносить за знак предела.

3.Если B,

Док-во: (только на второе он док-во дал почему-то)

+Из другой главы но похоже в эту же тему

Теорема о единственности предела последовательности:

Если послед имеет предел то он единственный

Док-во:

Предположим

0=

Зн A-B ,раз A и B постоянные числа то следует что A=B

Билет №35 Св-ва бесконечно малых последовательностей. Последовательность Хn называется бесконечно малой если её предел равен 0. {Xn} ; /Xn/ ; ; А= (Xn-A)- бесконечно малая последовательность (Xn-A) - бесконечно малая последовательность {Xn-A}-бесконечно малая последовательность {Xn-A}={ A Теорема: тогда 1/ явл. Бесконечно большой последовательностью Доказательство: n / 1. Положим M=1/ , тогда модуль 1/ равен 1/модуль Теорема: Пусть , тогда Явл. Бесконечно малой последовательностью Доказ-во. / /= /2; / = /2 N= max( тогда одновременно выполняется и 1 и 2-е неравенство / / /+/ / ; Следствие: Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Следствие: С-действительное число(R) тогда С Теорема: Док-во: т.к / / ; / N= max( тогда одновременно выполняется и 1 и 2-е неравенство / /=/ // /

Билет №36. Теорема о сжатых последовательностях ( о двух милиционерах) Хn стремится к А при n ; Yn стремится к В при n Доказ-во: N=max (N1;N2) Теорема о единственности предела последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный A= , Xn=A+ Xn=B+ 0=Xn-Xn= A+ B+ ; = (A-B стремится к 0 при n A=B

Билет № 37 Монотонные последовательности Последовательность Хn называется монотонно возрастающей или убывающей если для любого n выполняется неравенство Хn+1 Хn (Хn+1 Хn) Монотонно возрастающая или убывающая последовательности называются монотонными. Теорема: Монотонно возрастающая (убывающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел. Доказ-во: Пусть Хn+1 Хn; Хn M; т.к последовательность Хn ограничена, то она имеет точную верхнюю грань. ; Хn sup-супремум Хn, Хn Хn- монотонно возрастающая Хn т.е ; A= Теорема: Если последовательность имеет предел, то она ограниченная. Доказ-во: =А M=max(X1,X2…..Хn; А+ ) m=min(X1,X2…..Хn; А- ) тогда т.е. по определению это ограниченная последовательность.

№ 38 Число Е

Число Эйлера е - это основание натурального логарифма (значение: 2.71828182834905...), которое названо по имени швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707-1783).

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n ( см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы" ). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию

Свойства

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения f''(x) = f(x) является функция f(x) = cex, где c — произвольная константа.

Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

eix = cos(x) + isin(x), см. формула Эйлера, в частности

Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел: (второй замечательный предел).

Как сумма ряда: