О переходном процессе.

Переходной процесс в системе автоматического управления – это .

Качество переходного процесса принято часто характеризовать при помощи следующих величин, называемых показателями качества:

1. Величина перерегулирования

2. Статическое отклонение (установившееся значение) .

3. Времени переходного процесса или времени регулирования: наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство ,,- заданная малая постоянная величина (обычно 5% от установившегося значения)

4. N – число колебаний регулируемой величины в течении времени переходного процесса .

О точности системы.

Точность системы автоматического управления определяется формулой установившегося процесса . При этом установившаяся ошибка системы будетприи характеризует степень близости выходной переменной к заданному значению после окончания переходного процесса в системе.

Переходной процесс в системе автоматического управления как правило рассматривают при подаче на вход системы постоянного входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Если - тогда математической моделью переходного процесса является переходная функция замкнутой системы.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

Пусть структурная схема системы автоматического управления преобразована к расчетной структурной схеме:

Как следует из ранее изложенного для замкнутой системы справедливы следующие соотношения:

,

.

Изучим временные и частотные характеристики замкнутых систем.

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

Переходная функция замкнутой системы . Переходная функция замкнутой системы автоматического управления - это ее реакция на единичное входное воздействие:

; .

Следуя ранее введенным обозначениям, - переходная функция системы, а ее изображение по Лапласу -,.

При , будем иметьи, следовательно,. Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим переходную функцию замкнутой системы:

.

. (1)

Из последнего равенства следует, что для получения переходной функции замкнутой системы управления необходимо:

1. Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию разомкнутой системы .

2. По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системыпо формуле:

.

3. Выполнить обратное преобразование Лапласа от выражения: , т. е..

Не используя равенства (1), можно определить установившееся значение переходной функции замкнутой системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем:

.

Следовательно,

(2)

Для замкнутых систем автоматического управления особый интерес представляет изучение изменения во времени ошибки системы . Для ошибки системы справедливы следующие равенства:

; .

Таким образом для имеем

и окончательно

(3)

Для того чтобы получить закон изменения во времени ошибки системы необходимо:

1. Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию системы .

2. По передаточной функции разомкнутой системы вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по формуле:.

3. Выполнить обратное преобразование Лапласа от выражения

, т.е. .

Не используя равенства (3), можно определить установившееся и начальное значение ошибки системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем

(4)

,

. (5)

Импульсная переходная (весовая) функция замкнутой системы .

Весовой функцией замкнутой системы автоматического управления называется функция, описывающая реакцию замкнутой системы, когда на ее вход подается -функция при нулевых начальных условиях

; .

Следуя ранее введенным обозначениям, – импульсная переходная (весовая) функция системы, а ее изображение по Лапласу –,.

При , будем иметьи, следовательно,. Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим весовую (импульсную переходную) функцию замкнутой системы

.

. (6)

Из полученного равенства следует, что для получения импульсной переходной функции (весовой функции) замкнутой системы необходимо:

1. Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию системы .

2. По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системыпо формуле:.

3. Выполнить обратное преобразование Лапласа от передаточной функции замкнутой системы .

Для рассматриваемого случая, чтобы определить закон изменения во времени ошибки системы необходимо вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:, а затем найти обратное преобразование по Лапласу от, т.е..

Установившееся и начальное значения функций инаходим на основании предельных теорем преобразования Лапласа:

,

,

,

.

Установим связь между импульсной переходной (весовой) функцией и переходной функциейзамкнутой системы. Имеем

; ;

; ;

Следовательно . Применим обратное преобразование Лапласа к обеим частям последнего равенства. Но так как, то на основании свойства преобразования Лапласа ( при нулевых начальных условиях умножение нав области изображений соответствует дифференцированию пов области оригиналов) имеем.

ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК.

Пусть структурная схема системы автоматического управления приведена к расчетной

где - передаточная функция разомкнутой системы.

Точность системы автоматического управления определяют по установившемуся значению ошибки, т. е. по значению ошибки после окончания переходных процессов в системе

.

Значение зависит:

1. От свойств исследуемой системы управления, которые отражены в принятой математической модели системы, например, параметров .

2. От входного воздействия, которое отрабатывается исследуемой системой.

Точность системы управления оценивается при типовых входных воздействиях – полиномиальные входные воздействия.

.

ЗАДАЧА: Связать количественную оценку ошибки системы управления в установившемся режиме с передаточной функцией разомкнутой системы – с математической моделью исследуемой системы.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна:

.

Из последнего равенства изображение по Лапласу ошибки системы будет иметь вид:

. (1)

Для того, чтобы определить установившееся значение ошибки системы , воспользуемся предельным свойством преобразования Лапласа:

, (2)

На основании равенства (1) можно представить передаточную функцию по ошибке замкнутой системы в виде ряда (в окрестности ):

. (3)

где числа ,, … ,- называются коэффициентами ошибок и определяются равенствами:

; ; … ;.

Подставим (3) в (2), получаем:

.

Исследуем изменение величины от вида входного воздействия и коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы – параметров математической модели исследуемой системы управления.

Случай I.

Единичное, входное воздействие:

; .

I.1. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке запишется в виде

.

Предполагаем, что замкнутая система асимптотически устойчива, тогда установившееся значение ошибки в замкнутой системе будет

.

С другой стороны

.

Следовательно . Обозначим через- это коэффициент усиления разомкнутой системы, тогда.- коэффициент статической ошибки, или ошибки позиционирования системы.

ВЫВОД. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

то установившееся значение ошибки в замкнутой системе будет определяться из соотношения: . Такие системы автоматического управления называютсястатическими. В статических системах для уменьшения ошибки в системе в установившемся режиме повышают коэффициент усиления разомкнутой системы (). Но при увеличении коэффициента усиления система может потерять устойчивость.

Особенность логарифмических характеристик статических систем: первая асимптота логарифмической амплитудно-частотной характеристики имеет наклон .

II.2. В знаменателе передаточной функции разомкнутой системы коэффициент .

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы принимает вид:

.

С учетом полученного равенства передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид

.

Установившееся значение ошибки в замкнутой системе будет равно

.

Следовательно, и в системе, в установившемся режиме, нет статической ошибки. Система автоматического управления с передаточной функцией

обладает АСТАТИЗМОМ первого порядка. Характерно для логарифмических амплитудно-частотных характеристик разомкнутых систем: первая асимптота имеет наклон .

Если передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления имеет вид

,

то говорят, что система обладает астатизмом второго порядка. Для систем управления с астатизмом второго порядка ;.

Характерно для логарифмических амплитудно-частотных характеристик разомкнутых систем: первая асимптота имеет наклон .

Случай II.

;

II. 1. Статическая система . Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

ВЫВОД. В статических системах при входном воздействии ошибканеограниченно возрастает; статические системы не могут отработать такой входной сигнал.

II.2. Система с астатизмом первого порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

С другой стороны

, т. к. - по условию система с астатизмом первого порядка. Следовательно. Для уменьшения ошибки в системах автоматического управления, обладающих астатизмом первого порядка, при входном воздействииследует увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы, но это может привести к потере устойчивости замкнутой системы. Коэффициентназывается коэффициентом ошибки системы по скорости.

II.3 Система автоматического управления с астатизмом второго порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Установившееся значение ошибки

.

тн7С другой стороны

.

Сравнивая два последних равенства, приходим к выводу, что в системах автоматического управления, обладающих астатизмом второго порядка, коэффициент скоростной ошибки равен нулю, т.е. .

Случай III.

;

III.1 Статическая система . Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

ВЫВОД. В статических системах при входном воздействии ошибканеограниченно возрастает. Такого вида входное воздействие статическая система отработатьне может.

III.2 Система с астатизмом первого порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы автоматического управления в установившемся режиме будет

.

ВЫВОД. В системах автоматического управления, обладающих астатизмом первого порядка, при входном воздействии ошибканеограниченно возрастает. Такого вида входное воздействие система с астатизмом первого порядка отработатьне может.

III.3 Система автоматического управления с астатизмом второго порядка

.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

Ошибка замкнутой системы в установившемся режиме будет

.

С другой стороны

.

Сравнивая два последних равенства, приходим к выводу, что в системах автоматического управления, обладающих астатизмом второго порядка, коэффициент ошибки по ускорению .

Для уменьшения ошибки в системах автоматического управления, обладающих астатизмом второго порядка при входном воздействии следует увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы, но это так же может привести к потери устойчивости замкнутой системы.

Пример. Задана передаточная функция замкнутой системы

.

Найти коэффициенты ошибки системы.

Решение. Передаточная функция по ошибке связана с передаточной функцией замкнутой системы равенством:

.

В результате деления числитель на знаменатель получаем

Следовательно, ,,.