Пример. Задана желаемая передаточная функция разомкнутой системы ,

где ,.

Задана передаточная функция объекта управления

,

где ,,.

Выполнить синтез алгоритма управления объектом с заданной передаточной функцией . Алгоритм формируется по принципу линейной обратной связи. Синтезированная система должна иметь заданное расположение корней характеристического полинома.

Решение. Желаемая передаточная функция замкнутой системы

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

,

или с учетом заданных числовых значений:

.

Введем обозначения

,.

В соответствии с полученной передаточной функцией составим уравнения относительно переменных состояния

,

,

.

или с учетом заданных числовых значений

,

,

.

По заданной передаточной функции объекта управления составим уравнение объекта управления относительно переменных состояния

,

,

,

,

или с учетом заданных числовых значений

,

,

.

Управляющую функцию ищем в виде:

Тогда управление замкнутой системы:

,

,

или

,

,

.

Тогда, для того, чтобы замкнутая система управления имела заданное расположение корней характеристического уравнения, должны выполняться следующие уравнения ,, или,.

С учетом заданных числовых значений

, .

Структурная схема синтезированной системы управления имеет вид, показанный на рисунке

Пример. Математическая модель объекта управления имеет вид

,

,

.

Найти коэффициенты ив алгоритме управления

таким образом, чтобы замкнутая система имела корни характеристического уравнения, равными

, .

Решение. В соответствии с условиями задачи, характеристический полином с заданным расположением корней имеет вид

.

Для заданного объекта управления имеем

, .

Проверим условие управляемости объекта уравнением. Для этого составим матрицу управляемости

ее ранг равен двум, следовательно объект обладает свойствами управляемости. Таким образом, задача имеет решение. Найдем матрицу, обратную к матрице . Имеем

.

Следователно,

.

Воспользуемся равенством

для того, чтобы найти коэффициенты характеристического полинома матрицы имеем

.

Таким образом, характеристический полином матрицы динамики объекта равен ,,.

Найдем матрицу и обратную к ней матрицу

, .

Матрица преобразования исходных переменных состояния объекта управления к канонической форме их записи:

.

И, следовательно

.

Найдем, теперь искомые коэффициенты ив алгоритме управления

.

в соответствии с формулами ,имеем

, .

Вычисленные коэффициенты обратных связей алгоритма управления рассчитан для канонических переменных состояния объекта управления. Для того ,чтобы найти коэффициенты обратных связей относительно исходных переменных состояния, необходимо найти

.

Таким образом

.

Следовательно ,.

Итак, окончательно, структурная схема алгоритма управления имеет вид, показанный на рисунке.