Дифференцирующее звено первого порядка.

Дифференцирующим звеном первого порядка называется один из простейших динамических элементов или его составная часть, имеющее передаточную функцию вида

(1)

На структурных схемах дифференцирующее звено первого порядка изображается следующим образом

Динамические свойства дифференцирующего звена определяются двумя параметрами:

1. - коэффициент усиления дифференцирующего звена первого порядка.

2. - постоянная времени дифференцирующего звена первого порядка.

Замечание

Сомножитель можно привести к виду (1) следующим образом:

Введём обозначения . Тогда

Получим математическую модель дифференцирующего звена первого порядка в виде дифференциального уравнения.

;

;

. (2)

Из полученного уравнения следует, что наличие дифференцирующего звена первого порядка в основном контуре системы означает введение производной в закон регулирования и обычно бывает полезно для улучшения качества регулирования и обеспечения устойчивости.

Характеристики дифференцирующего звена первого порядка.

1. Временные характеристики.

   1. Переходная функция дифференцирующего звена первогопорядка.

начальные условия для уравнения (2) нулевые.

При скачкообразном изменении входной величины на выходе дифференцирующего звена первого порядка появляется сигнал в виде суммы двух функций: единичной и- функции:

(3)

2. Частотные характеристики.

Для аналитических соотношений, определяющих частотные характеристики дифференцирующего звена первого порядка, надо в передаточную функцию

подставить . В результате чего получаем

Обозначим ;. (4)

1. Амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка.

Для аналитического получения зависимости амплитуды выходного сигнала дифференцирующего звена первого порядка от частоты, воспользуемся равенством

или с учётом равенств (4)

(5)

С ростом частоты амплитуда выходного сигнала увеличивается.

2.2. Фазо-частотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка.

По определению фазо-частотной характеристики динамической системы имеем

,

Тогда с учётом (4) получаем

(6)

С ростом частоты входного сигналя фаза выходного сигнала увеличивается от 0 до .

Дифференцирующее звено первого порядка создаёт опережение выходной величины, тем больше, чем больше сатота входного сигнала.

2.3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка.

Эта характеристика определяется равенством (4) и (5). График амплитудно-фазо-частотной характеристики дифференцирующего звена имеет вид, показанный на рисунке

2.4. Логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики дифференцирующего звена первого порядка.

Для построения логарифмической амплитудно-частотная характеристики дифференцирующего звена первого порядка рассмотрим

С учётом уравнения для амплитудно-частотной характеристики дифференцирующего звена первого порядка (5) последнее равенство примет вид

Эта характеристика имеет две асимптоты:

1. При

2. При

Каждая из этих асимптот является прямой, которые пересекаются в точке с координатами:

Значение частоты - сопряжённая частота.

Асимптотическая амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка при параллельна оси частот и проходит на уровне, а приимеет наклон 20 дБ/дек.

Сама логарифмическая амплитудно-частотная характеристика показана на рисунке пунктирной линией и достаточно близка к этим асимптотам. Наибольшее отклонение будет в точке , которое равно 3.03 дБ.

Правило построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики дифференцирующего звена первого порядка.

1. На оси частот отмечаем сопряжённую частоту .

2. На оси ординат отмечаем точку .

3. Через точку на оси ординат, которая соответствует проводим прямую, параллельную оси частот до значения.

4. Через точку с координатами проводим прямую с наклоном 20 дБ/дек.

В результате указанных построений получается асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка.

5. Уточнение логарифмической амплитудно-частотной характеристики дифференцирующего звена первого порядка в окрестности сопрягающей частоты осуществляется с помощью шаблона так же как и при построении логарифмических характеристик апериодического звена.