Характеристики интегрирующего звена.

1. Временные характеристики.

   1. Переходная функция интегрирующего звена

С учётом нулевых начальных условий решением полученного уравнения будет:

2. Весовая функция интегрирующего звена.

2. Частотные характеристики интегрирующего звена.

1. Амплитудно-фазо-частотная характеристика интегрирующего звена.

- в передаточной функции полагаем ;

Тогда

2. Амплитудно-частотная характеристика интегрирующего звена.

3. Фазо-частотная характеристика интегрирующего звена.

Отставание по фазе не зависит от частоты.

4. Логарифмические амплитудно и фазочастотные характеристики интегрирующего звена.

• при увеличении частоты на одну декаду ордината уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон прямой- 20 дБ/дек.

Апериодическое звено.

Апериодическим звеном называется простейший динамический элемент системы автоматического управления или его составная часть, имеющая передаточную функцию вида

(1)

на структурных схемах апериодическое звено изображается следующим образом

Динамические свойства апериодического звена определяются двумя параметрами:

- коэффициент усиления (коэффициент передачи) апериодического звена;

- постоянная времени апериодического звена.

Замечание

Простую дробь вида можно преобразовать к виду (1) следующим образом:

;

обозначим

; .

Из последнего равенства получаем:

Получим дифференциальное уравнение, описывающее динамические процессы в апериодическом звене.

(2)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Математической моделью апериодического звена является дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристики апериодического звена.

1. Временные характеристики.

   1. Переходная функция апериодического звена.

начальные условия для дифференциального уравнения (2) – нулевые.

Дифференциальное уравнение (2) принимает вид:

С учётом нулевых начальных условий, решение этого дифференциального уравнения будет

2. Весовая функция апериодического звена.

2. Частотные характеристики:

   1. Амплитудно-фазо-частотная характеристика апериодического звена.

;

в передаточной функции полагаем ;

;

выделим в комплексном числе действительную и мнимую части:

.

Обозначим:

; .

Для определения амплитудно-фазово-частотной характеристики возведём ив квадрат и вычислим:

.

Подставим это равенство в выражение для :

Откуда

,

последнее уравнение можно представить в виде:

• это уравнение окружности с центром в точке с координатами

; .

и радиусом, равным

.

Подставляя значения от 0 дов соотношенияиполучим график амплитудно-фаза-частотная характеристика апериодического звена.

2.2. Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена.

Для определения фазо-частотной характеристики воспользуемся формулой

Подставляя ив полученной равенство получаем

2.3. Фазо-частотная характеристика апериодического звена.

Для определения фазо-частотной характеристики воспользуемся формулой

Подставляя в последнее равенство значения иполучаем:

.

Отставание выходной величины тем больше, чем больше частота входного сигнала. Максимальное отставание .

2.4. Логарифмическая амплитуда и фазово-частотная характеристики апериодического звена.

Для построения логарифмических частотных характеристик рассмотрим:

.

С учётом равенства, определяющего значение

получаем:

Эта характеристика

имеет две асимптоты:

• первая асимптота: ;- это горизонтальная прямая;

• вторая асимптота: ;- это прямая с наклоном (-20 дБ/дек) .

Эти две асимптоты пересекаются в точке с координатами .

Фазово-частотная характеристика определяется равенством

Сама логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (показана на рисунке пунктиром) достаточно близка к этим асимптотам. Наибольшее ее отклонение будет в точке , которое равно:

Часто в инженерных расчётах такой разницей пренебрегают и считают, что логарифмическая амплитудно-частотная характеристика апериодического звена имеет вид ломаной, которая состоит из двух прямых (асимптот).