Корректирующее устройство по возмущению.

Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид, показанный на рисунке 17.

Введем корректирующее устройство , входом которого является возмущающее воздействие. Структурная схема такой системы представлена на рисунке 18.

Тогда передаточная функция замкнутой системы для регулируемой величины по возмущающему воздействию будет равна

.

Условие полной инвариантности принимает вид

.

Здесь так же можно ограничится неполной инвариантностью, если реализация вызывает технические трудности.

Особая трудность – возмущающее воздействие , в отличии от задающегоне всегда можно подать на вход. Для этого нужно измерять, что не всегда возможно. Существуют косвенные методы оценки, которые широко используются в практике.

Введение корректирующих устройств по внешним возмущениям является важным методом повышения точности систем автоматического управления. Этот метод обладает существенной положительной особенностью. Как видно из приведенных передаточных функций, характеристическое уравнение замкнутой системы при введении такой коррекции остается неизменным. Следовательно, этот способ коррекции существенно повышает точность системы, почти не влияет на качество переходных процессов управления, в то время как все предыдущие методы повышения точности всегда были связаны с ухудшением качества переходного процесса, если не принимать дополнительные меры.

Краткое сравнение способов коррекции систем автоматического управления при помощи последовательных и параллельных корректирующих устройств.

Преимущество последовательных корректирующих устройств заключается в том, что они часто могут быть реализованы в виде простейших пассивных -контуров.

Основные их недостатки:

1. Непостоянство параметров и характеристик системы снижает эффективность действия последовательных корректирующих устройств. Отсюда – повышенные требования к стабильности характеристик элементов системы.

2. -контуры, включаемые последовательно, обычно содержат более громоздкие конденсаторы, чем контуры в цепи обратных связи (интегрирующие).

3. Дифференциирующие -контуры, создающие опережение по фазе, очень чувствительны к помехам.

Преимущества параллельных корректирующих устройств:

1. Уменьшение зависимости динамических свойств системы от изменения параметров и характеристик входящих в ее состав элементов. Требования к стабильности характеристик элементов менее жесткие, чем у параллельных корректирующих устройств.

2. В элементах системы, близких к ее выходу, развиваются большие мощности. Их питание, если они потребляют значительную энергию, не представляет затруднений.

3. Менее подвержены влиянию помех, часто содержащихся в сигнале ошибки, элементы системы играют роль фильтров низких частот.

Недостатки параллельных корректирующих устройств:

1. Состоят из дорогих и громоздких элементов.

2. Требование, чтобы обратная связь не нагружала предварительные каскада усилителей.

3. Необходимы высокие коэффициенты усиления.

Синтезалгаритмовуправления динамическими объектами

с использованием переменных состояния.

Пусть объект управления описывается следующей системой уравнений:

, (1)

, (2)

где -- мерный вектор состояния объекта;- матрица динамики объекта управления размера;,-- мерные векторы;- символ транспонирования;- скалярная управляющая функция;- действительное число (скаляр);- выходной сигнал объекта управления(скалярная функция).

Уравнение (1) – дифференциальное уравнение относительно переменных состояния объекта управления; уравнение (2) – уравнение выхода объекта управления. Уравнения (1), (2) – описывают объект управления с одним входом и одним выходом. Структурная схема объекта управления, в соответствии с уравнениями (1) и (2), имеет следующий вид:

Решение системы уравнений (1) определяется формулой Коши:

, (3)

где первое слагаемое определяет собственное движение объекта управления, которое зависит как от динамических свойств объекта так и от начальных условий ; второе слагаемое - вынужденное движение объекта управления, определяемое.

Закон изменения выходной переменной в соответствии с (2) и (3) определяется по формуле:

(4)

Обратной связью по переменным состояния динамического объекта называют устройство (иногда его называют регулятором), вырабатывающее управляющее воздействиена вход объекта управления по алгоритму (закону)

,

где – внешнее управляющее воздействие, не зависящее от.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линейных безинерционных обратных связей (т.е. датчики определяющие значения переменных состояния, - идеальных). В этом случае алгоритм управления динамическим объектом будет иметь вид:

, (5)

где –-мерный вектор, компоненты которого являются коэффициенты обратных связей по соответствующим переменным состояния.

С учетом равенства (5) замкнутая система управления описывается следующей системой управлений:

, (6)

, (7)

а ее структурная схема будет иметь вид:

В уравнении (6) – матрица динамики замкнутой системы.

Управляемость и наблюдаемость объектов

автоматического управления.

Пусть объект управления описывается следующей системой уравнений:

, (1)

, (2)

где – -мерный вектор состояния объекта управления; – матрица динамики объекта управления размера;– -мерные векторы; – символ транспонирования;– управляющая скалярная функция;– число (скаляр).

Введём в рассмотрение -мерное пространство, координатными осями которого являются переменные состояния системы .Это так называемое пространство переменных состояния объекта управления (фазовое пространство).

Определение.

Автономная линейная система (1) называется вполне управляемой (обладает свойством управляемости) относительно точек , если существует ограниченное управлениена некотором интервале времени, которое переводит систему из начального состоянияв точку.

Критерий управляемости.

Линейная автономная система (1) будет обладать свойством управляемости тогда и только тогда, когда ранг матрицы

(3)

равен порядку системы (1), т.е.

Матрица , которая формируется по формуле (3), называется матрицей управляемости.

Свойство управляемости динамического объекта управления означает.

Если динамический объект обладает свойством управляемости в , то его можно из произвольного начального состоянияперевести в произвольное конечное состояниеза конечный промежуток времени с помощью ограниченной управляющей функции.

Пример. Задан объект управления, структурная схема которого представлена на рисунке:

, .

Исследовать на управляемость динамический объект.

Решение. В соответствии со структурной схемой объекта управления имеем:

,

,

.

Учитывая заданные числовые значения коэффициентов обратных связей

, ,

исследуемый на управляемость динамический объект описывается следующими дифференциальными уравнениями

,

,

.

Следовательно,

, ,.

Составим матрицу управляемости:

,

, ,

следовательно .

Ранг матрицы S совпадает с порядком системы уравнений. Поэтому, заданный объект управления обладает свойством управляемости.

Пример. Определить, является ли динамическая система:

,

,

.

управляемой.

Решение.

, ,,.

Составляем матрицу управляемости

,

, ,

откуда .

Динамическая система неуправляема.

Переменные состояния объекта управления могут быть выбраны различными способами. В связи с этим возникает задача: изменится ли свойство управляемости объекта управления при различных способах его описания относительно переменных состояния?

Свойство инвариантности управляемости объекта управления.

Осуществим линейное преобразование переменных состояния динамического объекта (1) по формуле

, (4)

где - невырожденная матрица размералинейного преобразования;-новые переменные состояния динамического объекта управления.

Из уравнения (1) и равенства (4) получим уравнения, описывающие динамику объекта управления, относительно новых переменных состояния .

; (5)

,

, (6)

. (7)

Введём обозначения:

, ,. (8)

Тогда уравнения (6) и (7) принимают вид:

, (9)

. (10)

Таким образом, мы получили две формы записи математической модели одного и того же объекта управления: уравнения (1) и (2) и уравнения (9) и (10) относительно переменных состояния и, которые связаны между собой невырожденным преобразованием(см.(4)).

Пусть далее матрица управляемости для уравнения (1)

(11)

имеет ранг равный , то есть объект управления (1) обладает свойством управляемости:. Исследуем управляемость динамического объекта (9). Для этого составим матрицу управляемости

. (12)

С учётом обозначений (8) перепишем матрицу следующим образом:

и окончательно

. (13)

Так как и, то справедливо

.

Следовательно, динамический объект (9) является управляемым. Значит, свойство управляемости динамического объекта не изменилось при невырожденном линейном преобразовании переменных состояния с матрицей преобразования .

Вывод. Свойство управляемости инвариантно относительно невырожденного преобразования переменных состояния объекта управления.

Определение:

Линейная система (9) называется линейно эквивалентной системой (1), если существует невырожденная матрица , такая, что

, ,.

Пусть теперь заданы две формы записи математической модели одного и того же динамического объекта (1) и (9), и пусть динамический объект обладает свойством управляемости, то есть . Это значит, что матрица управляемостии- невырождены и, следовательно, имеют обратныеисоответственно.

Из формулы (13) можно найти матрицу , которая преобразует переменные состоянияв переменные состояния:

, ,

.

И так:

, (14)

Равенства (14) позволяют определить матрицу и обратную к ней – матрицу.

Пример. Задана математическая модель динамического объекта управления в следующей форме записи:

,

,

.

Преобразование переменных состояния и переменных состояниязаданы с помощью равенств:

,

.

Составить математическую модель динамического объекта управления относительно переменных состояния . Проверить управляемость новой математической модели динамического объекта управления.

Решение.

, , , ,

, , ,

,

,

, ,

,

Следовательно, математическая модель динамического объекта относительно новых переменных имеет вид

,

,

.

Управляемость новой математической модели динамического объекта:

,

,

, .

Новая математическая модель динамического объекта обладает свойством управляемости.

Пример. Найти матрицу , преобразующую математическую модель объекта управления

,

к виду

,

.

Решение.

, , , ,

, , ,

.

Находим матрицу . Вычисляем матрицу искомого преобразования:

и обратную к ней матрицу

.

Проверка.

,

.

НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.

Рассмотрим динамический объект управления, математическая модель которого имеет вид:

, (1)

где – -мерный вектор состояния объекта управления; – матрица динамики объекта управления размера;– -мерный вектор; – управляющая скалярная функция.

Будем считать, что не все переменные состояния объекта управления доступны измерению. Пусть -- мерный вектор, элементы которого – переменные состояния объекта доступные измерению (либо их линейные комбинации) и. Пусть далее векторсвязан с векторомсоотношением вида

, (2)

где - называется матрицей измерений размера.

Задача состоит в восстановлении вектора переменных состояния объекта управления по известному вектору.

Если эта задача имеет единственное решение, то говорят, что объект управления обладает свойством наблюдаемости.

Задача восстановления вектора переменных состояния объекта управления формулируется следующим образом.

Пусть объект управления описывается уравнением (1), а измерению доступен вектор , который связан с векторомпосредством равенства (2). Требуется восстановить начальный вектор состояния объекта управленияпо известной вектор – функции наблюдений.

Возможность восстановления начального состояния объекта по вектору измеренийназывается наблюдаемостью. Объект управления обладающий этим свойством называется вполне наблюдаемым. Ответ на вопрос, является ли объект управления вполне наблюдаемым дает следующая теорема (критерий наблюдаемости).

Критерий наблюдаемости.

Для того, чтобы линейная стационарная система

,

была полностью наблюдаема, необходимо и достаточно, чтобы матрица вида

(3)

имела ранг равный , то есть

Матрица , которая формируется по формуле (3), называется матрицей наблюдаемости.