Правило построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики апериодического звена.

1. На оси частот отмечаем сопряжённую частоту

2. На оси ординат отмечаем точку .

3. Через точку на оси ординат, которая соответствует , проводят прямую, параллельную оси частот до значения

4. Через точку с координатами проводят прямую с наклоном –20дБ. В результате указанных построений получается асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика апериодического звена.

5. Уточнение логарифмической амплитудно-частотной характеристики в окрестности сопрягающей частоты осуществляется с помощью шаблонов.

Колебательное звено.

Колебательным звеном называется простейший динамический элемент системы автоматического управления или его составная часть, имеющая передаточную функцию вида

(1)

На структурных схемах колебательное звено изображается следующим образом:

Динамические свойства колебательного звена определяются тремя параметрами

- коэффициентом усиления (передачи) колебательного звена;

- постоянная времени колебательного звена;

- относительный коэффициент затухания колебательного звена .

Замечание

Простейшую дробь вида можно преобразовать к виду (1) следующим образом:

;

Введём обозначения:

;

Тогда последнее равенство принимает вид (1). Получим математическую модель колебательного звена в виде дифференциального уравнения:

;

;

. (2)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Следовательно, математической моделью колебательного звена является дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальному уравнению (2) соответствует характеристическое уравнение

(3)

(сравним со знаменателем передаточной функции (1)), его корни вычисляются по формулам

.

Так как , то корни характеристического уравнения (3) – комплексно-сопряжённые:

; . (4)

где

; .

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения () определяющее собственно динамические свойства колебательного звена имеет вид

, (5)

где и– постоянные интегрирования.

Замечания.

1. Если , то колебательное звено распадается на два апериодических звена.

2. Если , то собственное движение колебательного звена – незатухающие колебания с частотой. Приколебательное звено называется консервативным.

Характеристики колебательного звена.

1. Временные характеристики.

   1. Переходная функция колебательного звена.

;

начальные условия для уравнения (2) – нулевые.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2) определяется равенством (5). Частное решение неоднородного уравнения

(6)

будет . Тогда решение неоднородного уравнения (6) будет иметь вид

(7)

Постоянные интегрирования С₁и С₂ определяются нулевыми начальными условиями:

;.

Имеем:

Это система линейных уравнений относительно постоянных интегрирования С₁и С₂.

Решение этой системы уравнений с учётом значений идаёт:

;.

Преобразуем равенство (7) следующим образом:

(8)

Обозначим

;;.

Тогда равенство (8) принимает вид (с учётом вычисленных значений постоянных интегрирования С₁и С₂):

(9)

Полученное уравнение (9) описывает затухающий колебательный процесс (откуда и название звена – колебательное) с относительным коэффициентом затухания и частотой. Установившееся значение переходной функции определяется как

график функции имеет вид, показанный на рисунке.

- период колебаний;

- амплитуды двух соседних колебаний относительно установившихся значений.

По графику функции можно определить параметры колебательного звена следующим образом:

1. Коэффициент усиления колебательного звена определяют по установившемуся значению переходной функции .

2. Постоянную времени Т и коэффициент затухания можно найти из уравнений

;.

2. Весовая функция колебательного звена.

Так как весовая функция равна производной по времени переходной функции, то из равенства (9) следует

(10)