Или в векторно-матричной форме записи

(9)

(10)

Уравнения (7)-(8), а, следовательно, и (9),(10), имеют каноническую форму записи, каноническая форма управляемости.

Замечание. (напоминание). Уравнения (4) и (9) обладают свойством управляемости.

Пусть далее, измерению доступны все переменные состояния объекта управления. Это значит ,что все их можно использовать для формирования алгоритма управления (9).

Пусть управляющая функция , определяется по принципу обратных связей и задаётся уравнением

(11)

где – мерный вектор, координаты которого суть коэффициенты обратных связей по переменным состояния объекта управления (9).

Поставим задачу: Выбрать вектор обратных связей таким образом, чтобы объект управления (9) замкнутый управлением (11) имел такое же расположение корней характеристического уравнения, и у дифференциального уравнения (4).

Приступая к решению задачи, подставим равенство (11) в уравнение (9)

(12)

Вычислим матрицу динамики замкнутой системы .

. (13)

Из (12) и (13) следует, что характеристическое уравнение замкнутой системы будет

, (14)

а характеристический полином для уравнения (4) равен

. (15)

Выбрав коэффициенты обратных связей согласно равенствам

. (16)

Легко убедиться, что коэффициенты характеристического полинома (14) и (15) совпадают, а, следовательно, совпадают и их корни, т. е.

Таким образом, если выбрать компоненты вектора обратных связей в соответствии с равенствами (16),то у дифференциальных уравнений (4) и (9) характеристические уравнения будут иметь одинаковые корни; матрицыиимеют одинаковые собственные значения, одинаковый спектр.

Задача синтеза алгоритма управления по принципу обратных связей, обеспечивающего заданное расположение корней характеристического уравнения решена.

Структура алгоритма.

При выборе компонентов вектора в соответствии с формулами (16) матрицы динамики уравнений (4) и (9) совпадают, т.е.

. (17)

Решим уравнение (17) относительно :

,

,

т.к. , то

. (18)

Учитывая форму записи матриц и, а также вектора, легко убедиться в том, что компоненты векторав соответствие с (18) рассчитываются по формулам (16); уравнение (18) – векторно-матричная форма записи системы уравнений (16).

Подставим равенство (18) в уравнение алгоритма управления (11):

. (19)

Структурная схема системы управления с учетом (19) показана на рисунке.

Составляющая алгоритма управления

компенсирует собственные динамические свойства динамического объекта управления (9).

Составляющая алгоритма управления

придает объекту управления требуемые динамические свойства.

Исходный объект управления.

Эталонная модель процессов в системе.

Мы рассмотрели случай, когда математическая модель объекта управления задана уравнением в канонической форме записи.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение относительно переменных состояния имеет общую форму записи

(20)

Пусть динамический объект (20) обладает свойством управляемости. Тогда существует такая невырожденная матрица , которая преобразует уравнение (20) к канонической форме записи (9):

(21)

т.е.

или вводя обозначения

.

имеем

(22)

Далее следует выполнить аналогично предыдущему синтез алгоритма управления для канонической формы записи уравнения динамики объекта: т.е. определить в (22) в виде

, (23)

где коэффициенты обратных связей (компоненты вектора ) вычисляются по формулам (16).

Далее необходимо перейти к исходным переменным состояния объекта управления по формуле

и, следовательно,

Таким образом, структурная схема синтезированной системы имеет вид, показанный на рисунке

Алгоритм синтеза закона управления

динамическим объектом методами модального

управления.

Исходными данными для синтеза алгоритма управления (закона управления) динамическим объектом являются.

1. Математическая модель динамического объекта управления.

,

.

2. Значения,, которые определяются указанными в техническом задании на проектирование системы управления динамическим объектом.

Задана эталонная модель процессов в замкнутой системе управления в виде: а) - передаточной функции замкнутой системы; б) системы дифференциальных уравнений; в) корнями характеристического уравнения замкнутой системы.

<1> Составить матрицу управляемости и проверить выполнение критерия управляемости: .

<2> Преобразовать исходную математическую модель динамического объекта к канонической форме записи (определяется матрица линейного преобразования переменых состояния).

<3> Составить характеристический полином матрицы ,эталонной модели процессов в замкнутой системе.

<4> Вычислить коэффициенты обратных связей для алгоритма уравнений вида

<5> Вычислить коэффициенты обратных связей для исходной системы