В соответствии с последними уравнениями структурная схема системы имеет вид (сравнить с исходной структурной схемой).

Пример. Система автоматического управления описывается уравнениями

,

,

.

Привести данную математическую модель системы к канонической форме записи.

Решение. Для данной системы имеем:

, ,.

Составляем матрицу управляемости

.

Ее ранг равен двум, следовательно, система обладает свойством управляемости. Это значит, что систему можно привести к канонической форме управляемости.

Найдем матрицу обратную к матрице. Имеем:

,

Найдем произведение матриц :

Последний столбец – коэффициенты характеристического полинома с обратными знаками. Характеристический полином

,

поэтому ,.

Проверка. Характеристический полином матрицы :

,

, .

Найдем матрицуи обратную к ней:

; ; .

Матрица преобразования к канонической форме управляемости

.

Найдем обратную матрицу к матрице: ,

.

Проверка:

,

,

.

Математическая модель системы в канонической форме записи:

,

,

.

В соответствии с этими уравнениями структурная схема системы относительно канонических переменных состояния имеет вид

Канонические формы наблюдаемости.

Пусть математическая модель объекта управления задана системой уравнений:

(1)

Будем говорить, что математическая модель объекта управления (1) записана в канонической форме наблюдаемости, если

Если объект управления (1) записан в канонической форме наблюдаемости, то сопряженная ему система записана в канонической форме управляемости.

СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

по заданному расположению корней характеристического

уравнения замкнутой системы.

Пусть заданна передаточная функция замкнутой системы

(1)

В системе автоматического управления с передаточной функцией процессы удовлетворяют всем заданным требованиям, предъявленным к процессам автоматического управления.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

где корни .

От передаточной функции перейдём к математической модели замкнутой системы в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши:

(2)

(3)

Или в векторно-матричной форме записи

, (4)

. (5)

Уравнения (2)-(3), а, следовательно, и (4),(5) имеют каноническую форму записи, каноническая форма управляемости.

Пусть далее математическая модель объекта управления задана в виде передаточной функции

. (6)

От передаточной функции перейдём к математической модели объекта управления относительно переменных состояния, имеем

(7)

(8)