18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений.

Запишем дифференциальное уравнение n-го порядка

Данное уравнение содержит три величины:

1. Функцию изменения во времени входного сигнала .

2. Функцию изменения во времени выходного сигнала .

3. Само дифференциальное уравнение, являющееся оператором преобразования входной функции времени в выходную функцию времени .

В основе операторного метода решения дифференциальных уравнений лежит преобразование Лапласа. При этом производится перевод переменных из временной плоскости (временные функции и др.) в плоскость комплексной переменной ( ), что позволяет перевести дифференциальные уравнения связи между переменными в в алгебраические и упростить их решения.

Прямое преобразование Лапласа .

называется изображением по Лапласу временной функции

Обратное преобразование Лапласа имеет вид .

Рассмотрим процесс нахождения операторным методом закона изменения выходной переменной динамического звена, описываемого дифференциальным уравнением ДУ при законе изменения входной переменной (см. рис. ). Алгоритм решения задачи символическим методом заключается в следующем:

1 . Записывается дифференциальное уравнение, описывающее закономерности рабаты динамического звена.

2. Делается преобразование дифференциального уравнения по Лапласу:

1) вместо записываются функции комплексной переменной ,

2) производные выражаются через оператор , а именно, и т.д., например и т.д. При этом вместо дифференциального уравнения получается алгебраическое. Таким образом, умножение в комплексной плоскости на оперетор означает, что во временной плоскости производится дифференцирование. И, соотвественно, деление в компексной плоскости на оператор означает обратное действие - интегрирование.

3. Делается преобразование Лапласа от закона изменения входной переменной . Для этого существуют таблицы преобразования Лапласа в справочниках, а также команды символьных преобразований в математических процессорах компьютеров.

4. Полученное алгебраическое уравнения решается относительно

5. Делается обратное преобразование Лапласа от и получается искомое решение - закон изменения во времени выходной переменной.

19. Передаточная функция элемента системы управления. Преобразование Лапласа дифференциального уравнения приводит к удобному и широко применяемому выражению связи между изображениями входной и выходной величин через передаточную функцию. Преобразуем по Лапласу анализиуемое дифференциальное уравнение

В правой и левой частях выражения появились множители y(p) и , которые можно вынести за скобки

Запишем отношение

Отношение изображения выходной величины звена (системы) к изображению входной величины называется передаточная функция и обычно обозначается . В данном случае

Изображение выходной переменной находится как произведение произведение передаточной функции на изображение входной переменной ,

что существенно упрощает анализ элементов и систем управления.

Передаточная функция обычно имеет вид правильной рационалной дроби в виде отношений полиномов от оператора Лапласа p (в литературе также часто используется обозначение ).. Степень полинома Р(р) больше или равна степени полинома Q(p) из условия физической реализуемости, которая означает, что сигнал на выходе не может появиться раньше появления сигнала на входе. Коэффициенты a_i и b_i вещественные числа. Корни характеристического уравнения - называются полюсами системы. Корни Q(р)=0 - называются нулями системы.

Вид решения (график выходной переменной) зависит от вида полюсов и нулей передаточной функции. Они могут быть вещественные, нулевые, комплексные с положительной или отрицательной вещественной связью. Если определить все полюса и нули системы и нанести их на комплексную плоскость, получим точки, размещенные в определенном месте этой плоскости. Исходя из их положения можно сделать анализ системы.

Таким образом, имеется связь между комплексными переменными и решением уравнения во временной плоскостями. Положение полюсов и нулей на комплексной плоскости определяет вид графика y(t) во временной плоскости.