29. Усилительное звено. Математическая модель, характеристики.

К усилительным звеньям относятся элементы, производящие мгновенное преобразование входного сигнала в выходной без переходных процессов. К безинерционным звеньям относятся электронные усилители, механические жесткие рычажные системы и т.д.

1 . Математическая модель является алгебраическим уравнением .

2. Статическая характеристика

3. Передаточная функция. Заменяя x(t) и y(t) на x(p) и y(p)

и, записывая выражение для отношения ,

получаем передаточную функцию звена

4. Временные характеристики.

Переходная характеристика h(t) = k 1[t]

Переходная импульсная характеристика

5. Частотные характеристики: АФЧХ, ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ:

, , , ,

Амплитудно-фазовая частотная характеристика приведена на рис. .

Логарифмические частотные характеристики определяются выражениями

и приведены на рис. . Амплитудная характеристика для всех частот равна , сдвиг по фазе у данного звена отсутствует.

30. Апериодическое звено первого порядка. Математическая модель, характеристики.

1. Дифференциальное уравнение

2. Статическая характеристика

3. Передаточная функция.

-заменяем в дифференциальном уравнении временные переменные x(t), y(t) на переменные

комплексного переменного x(p), y(p), знак производной заменяем на p,

- находим передаточную функцию как отношение изображения выходной переменой к

изображению входной переменной

4. Временные характеристики.

Переходная характеристика. Переходная характеристика это реакция звена на единичную ступенчатую функцию Хевисайда . Изображение единичной функции по Лапласу

Находим изображение выходной переменной .

Находим обратное преобразование Лапласа, используя табличное выражение

Учитывая, что , получаем

Переходная характеристика звена первого порядка . График переходной характеристики приведен на рис. . Выходная величина по экспоненте стремится к установившемуся значению .

Импульсная переходная характеристика (весовая характеристика).

Весовая характеристика это реакция звена на единичное импульсное воздействие (функцию Дирака). . Изображение по Лапласу

Изображение выходной переменной есть сама передаточная функция

Используя табличное преобразование , находим, учитывая ,

Реакция звена первого порядка на дельта функцию Дирака имеет вид ниспадающей экспоненциальной функции с начальным значением ( см. рис. ). Скорость падения определяется коэффициентом Т, который имеет размерность времени и называется постоянной времени. Подставив время в выражение весовой функции можно увидеть, что за это время график весовой функции падает соответственно до 0,05 и 0,02 от начального значения, т.е. время выхода выходной переменной на установившееся значение (соответственно, с 5% и 2% точностью) составляет (3 - 4)Т. На рис. . приведены, построенные в MathCad переходная и весовая характеристики звена первого порядка с передаточной функцией

5. Частотные характеристики. Для получения частотной характеристики сделаем замену в передаточной функции , умножим полученное выражение на сопряженный знаменателю сомножитель, разделим полученную частотную характеристику на реальную и мнимую составляющие

Вещественная частотная характеристика

Мнимая частотная характеристика

Фазовая частотная характеристика

Амплитудная частотная характеристика ;

Получим аналитическое выражение АФХ.

Проведем анализ суммы

Возведем левую и правую части в квадрат:

Или

Тогда добавим в обе части

- уравнение окружности. Центр в точке (0; k/2).

Т

0

аким образом, АЧХ имеет вид полуокружности. При =0 сдвиг по фазе равен нулю, коэффициент передачи равен k. При =₁, ₂, ₃ ... (с увеличением частоты) модуль уменьшается, а сдвиг по фазе стремится от 0 к 90

(при , 90).

Логарифмические частотные характеристики ЛЧХ.

; ; .

Разобьем ЛАХ по оси частот на 2 диапазона.

1. - асимптота с левой стороны.

2. , .

Рассмотрим это выражение на численном примере.

При увеличении круговой частоты в 10 раз правое слагаемое увеличивается на 20 единиц, т.е. после частоты среза ЛАЧ имеет наклон 20 дБ/дек.

Эти данные позволяют достаточно просто строить ЛАЧ апериодического звена первого порядка (см. рис. ).

1. Построить вертикальную линию на частоте среза .

2. В диапазоне нижних частот от частоты среза построить горизонтальную линию .

3 . В диапазоне высоких частот от частоты среза через точку пересечения с вертикалью частоты среза провести ниспадающую линию с наклоном 20 дБ/дек.

Эти две прямые линии дают амплитудную частотную характеристику звена в логарифмическом масштабе. Максимальна отклонение данной аппроксимации от расчетной кривой составляет 3дБ на частоте среза.

Логарифмическая фазовая характеристика ЛФХ строится по шаблону или расчетным путем по выражению .

На низких частотах выходной сигнал совпадает по фазе с входным , затем появляется отставание по фазе, которое на частоте среза равно . Максимальное отставание по фазе составляет .

П ример построения логарифмических частотных характеристик для звена первого порядка приведен на рис. .